Question

3. Encuentre todas las funciones f tales que f^' (x)=8sen(x)+2x^5 √x/x

Answer 1

Para encontrar la familia de primitivas de la funcion f'(x)= 8sen(x)+2x⁵√x/x 
Es necesario integrar de forma abierta la función.

f(x) = ∫f'(x) dx

f(x) = ∫ 8 sen(x) + 2x⁵$\frac { \sqrt{x} } {x}$ dx

$f(x) = 8 \int sen (x) dx + \int 2 x^{5} \frac{ \sqrt{x} } {x} dx$

Sabemos que : ∫sen(x) = -Cos (x). 

$f(x) = -8cos(x) + \int 2 x^{4} \sqrt{x} dx$

$f(x) = -8 Cos(x) + \int 2 x^{(4+\frac{1}{2})}dx$

$f(x) = -8cos(x) + \int 2 x^{9/2} dx$

Sabemos que la integral de: $\int x^{n} dx= \frac {1} {n+1} x^{n+1}$

Por lo que: 

$f(x) = -8cos (x) + 2\frac{1} {\frac{9} {2} +1} x^{\frac{9} {2} +1} +C$

$f(x) = -8 Cos(x) + \frac {4} {11} x^{\frac{11} {2}} +C$

Siendo f(x) todas las funciones de "x" para las cuales

f'(x) = 8sen (x) + 2x⁵√x/x