Question

Problema 1:

Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de temperatura, en los que un objeto absorbe calor del medio circundante. Para dichos casos, se puede establecer la Ley de enfriamiento o calentamiento de Newton que dice:

“La temperatura de un cuerpo se modifica a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el cuerpo y el medio externo, siempre que el medio mantenga constante su temperatura”
dT/dt= k(T-T_a)

En ese sentido, dicho fenómeno se presenta frecuentemente en la vida cotidiana y se puede aplicar en el siguiente caso:

Una pequeña lámina de metal, cuya temperatura inicial es de 25 °C, se introduce en un recipiente que contiene agua hirviendo. Determinar el tiempo que dicha lámina tardará en alcanzar los 80 °C, si se tiene que su temperatura se incrementó 3 °C en un segundo, y calcular cuánto tardará la misma lámina en elevar su temperatura a 95 °C.

Answer 1

DATOS:
  Temperatura inicial = Ta = 25 °C 
   T = 80°C
   dT/dt= 3°C /seg
   t=?
   T= 95°C 
   SOLUCIÓN:
    Para la solución del problema se aplica la ley de enfriamiento ( ley de       
    Newton)  :
                   dT/dt= k* (T - Ta) 
         Se despeja k :
                      k= ( T -To) / dT/dt 
                      k= ( 80 °C - 25°C )/ 3°C / seg 
                       k= 55/3 seg
                    dT/dt = (55/3) * ( T - 25°C ) 
                 ∫   dT/ (T - 25°C ) = ∫ ( 55/3) dt 
                      Ln( T - 25°C ) = (55/3) *t
                                       t= Ln( T - 25°C ) /(55/3)
        Para determinar el tiempo en que dicha lamina tardara en alcanzar 
       los 80 °C  :
                      t =  Ln(  80°C - 25°C ) / ( 55/3) = 0.218 seg
      Para T = 95°C 
                      t =  Ln( 95°C - 25°C ) / (55/3) = 0.2317 seg

      Se tardó 0.218 seg en alcanzar los 80°C y 0.2317 seg en alcanzar 
      los 95°C .