Question

Por favor ayuda con esta integral:

Answer 1

Nos solicitan:

$\int\limits^2_{-1} ({6 x^{2} \sqrt{2 x^{3}+5 } }) \, dx$

Y para calcularlo primero nos ocupamos de la integral no definida:

$\int {({6 x^{2} \sqrt{2 x^{3}+5 } })} \, dx$

Aplicamos un cambio de variable:

$u=2 x^{3}+5 \\ \\ du=6x^{2}$

Por lo tanto la expresión ha cambiado a:

$\int{ \sqrt{u} } \, du= \int{ u^{1/2} } \, du= \dfrac{ u^{3/2} }{3/2}+C= \dfrac{2}{3} \sqrt{ u^{3} } +C$

Regresando a la variable original:

$\dfrac{2}{3} \sqrt{ u^{3} } +C= \dfrac{2}{3} \sqrt{(2 x^{2} +5)^{3} }+C'$

Ya solo nos queda evaluar en los límites superior e inferior:

$\int\limits^2_{-1} ({6 x^{2} \sqrt{2 x^{3}+5 } }) \, dx= \dfrac{2}{3}[\sqrt{(2(2^{3})+5)^{3}}-\sqrt{(2(-1)^{3}+5)^{3}}] \\ \\ = \dfrac{2}{3}[ \sqrt{21^{3} }- \sqrt{3^{3} } ]= \dfrac{2}{3}[21 \sqrt{21}-3 \sqrt{3}] \\ \\ = 2[7 \sqrt{21}- \sqrt{3}] = \boxed{2 \sqrt{3}[7 \sqrt{7}-1]}$

Ojalá que te sirva ;)