Question

ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Las ecuaciones diferenciales de la forma: dy/dx=g(x)h(y), se pueden resolver a través de la técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir: ∫▒〖1/(h(y)) dy〗=∫▒g(x)dx 2. Aplicando la definición, una solución de la siguiente ecuación diferencial: (y^2+1)-ye^(-x) dy/dx=0, con valor inicial y(0)=0, se puede simplificar como: e^x-ln√(y^2+1)=1 〖 e〗^x+ln√(y^2+1)=1 e^(-x)+ln√(y^2+1)=-1 e^(-x)-ln√(y^2+1)=1

Answer 1

DATOS :
  Aplicando la definición , una solución de la siguiente ecuación diferencial =?
       ( y² + 1 ) - y* e⁻ˣ dy/dx =0    con valor inicial :   y(0)=0

 SOLUCION:
    Se  resuelve aplicando separación de variables , de la siguiente 
    manera :
            ( y² + 1)  = y * e⁻ˣ dy/dx 
              dx / e⁻ˣ = y /(y² +1) dy 
                 eˣ dx = y / ( y² + 1) dy
               integrando :
                 ∫ eˣ dx = ∫ y/( y² +1 ) dy 
                   eˣ   = (1/2)∫ du/u         método de sustitución 
                                                          u = y² + 1    du = 2ydy    du/2 = ydy 
                   eˣ  = (1/2) * Ln ( y² + 1)  +C 
              con el valor inicial  y(0) =0 
                   e⁰  =  (1/2) * Ln( 0² + 1) + C 
                   C = 1 
                  eˣ  = (1/2) * Ln( y² + 1) + 1 
                  eˣ  = Ln√ (y² + 1)   +1 

                  eˣ -  Ln√ ( y² + 1)  = 1  así se puede simplificar .
    Respuesta la primera .