Question

Explica las propiedades de los números reales

Answer 1

1- ¿Qué son los números reales?

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales recibe el nombre de conjunto de los números reales, y se denota con el símbolo:

 

 

El conjunto de los números reales está formado por una serie de subconjuntos de números que definiremos a continuación:

- Los números naturales que surgen con la necesidad de contar

 = {1, 2, 3, 4,...}

-  Los números enteros que complementan a los naturales pues contienen a los negativos y el cero.

 

 

-  El conjunto de los Números Racionales () que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica. Es decir, el conjunto de los números racionales está compuesto por todos los números que pueden ser escritos como una fracción cuyo numerador y denominador (distinto de cero) son números enteros. 

Ejemplo: 

= {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

 

- El conjunto  de los Números Irracionales (I)  que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

 

Puesto que los naturales están incluidos en los enteros y todos los enteros pueden ser representados como un número racional, se dice que los números reales son la unión de los números racionales y los irracionales.

 

2- Propiedades

2.1- Propiedades de la suma:

a) Propiedad Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

∀ a, b ∈ R : a + b ∈ R

Ejemplo:  2 ∈ R,  4/5 ∈ R →  2 + 4/5 = 14/ 5 ∈ R-2 ∈ R, 23 ∈ R → -2 + 23 = 21 ∈ R 

b) Propiedad Asociativa:
Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales:

(a + b) +c =  a + (b + c) 

Ejemplos: 

0.021 + (0.014 + 0.033) =  (0.021 + 0.014) + 0.033

 

c) Propiedad Conmutativa:
El orden de los sumandos no altera la suma.

∀ a, b ∈ R : a + b = b + a

Ejemplos:

3 ∈ R, 4 ∈ R →  3 + 4 = 4 + 3

√3 ∈ R, 9 ∈ R  → √3 + 9 = 9 + √3
 15,87∈ R, –2.35 ∈ R   →15.87 + (–2.35) =  –2.35 + 15.87  d) Existencia del elemento neutro aditivo:El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. ∀ a ∈ R, 0 + a = a + 0 = a Ejemplos: 0 + 13 = 13 + 0 = 13 8763.218 + 0 = 8763.218
 0 + (–56.41) = –56.51 e) Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso:Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0. a + ( -a) = -a + a = 0 , ∀ a ∈ R

Ejemplos:

10 + (-10) = 0
 2/7 + ( -2/7) = 0
 87.36 + (–87.36) = 0 –4.13 + 4.13 = 0

 

2.2- Propiedades de los reales en la resta o sustracción

Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los signos:

a) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.

Ejemplo:

28.7 – 11.2 = 17.5

b) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.

Ejemplo:

11.2 – 28.7 = –17.5

c) Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.

Ejemplo:

–28.1 – 11.2 = –39.3

Answer 2

Respuesta:

¿Qué son los números reales?

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales recibe el nombre de conjunto de los números reales, y se denota con el símbolo:

 

 

El conjunto de los números reales está formado por una serie de subconjuntos de números que definiremos a continuación:

- Los números naturales que surgen con la necesidad de contar

= {1, 2, 3, 4,...}

-  Los números enteros que complementan a los naturales pues contienen a los negativos y el cero.

 

 

-  El conjunto de los Números Racionales () que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica. Es decir, el conjunto de los números racionales está compuesto por todos los números que pueden ser escritos como una fracción cuyo numerador y denominador (distinto de cero) son números enteros.  

Ejemplo:  

= {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

 

- El conjunto  de los Números Irracionales (I)  que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

 

Puesto que los naturales están incluidos en los enteros y todos los enteros pueden ser representados como un número racional, se dice que los números reales son la unión de los números racionales y los irracionales.

 

2- Propiedades

2.1- Propiedades de la suma:

a) Propiedad Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

∀ a, b ∈ R : a + b ∈ R

Ejemplo:  2 ∈ R,  4/5 ∈ R →  2 + 4/5 = 14/ 5 ∈ R-2 ∈ R, 23 ∈ R → -2 + 23 = 21 ∈ R  

b) Propiedad Asociativa:

Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales:

(a + b) +c =  a + (b + c)  

Ejemplos:  

0.021 + (0.014 + 0.033) =  (0.021 + 0.014) + 0.033

 

c) Propiedad Conmutativa:

El orden de los sumandos no altera la suma.

∀ a, b ∈ R : a + b = b + a

Ejemplos:

3 ∈ R, 4 ∈ R →  3 + 4 = 4 + 3

√3 ∈ R, 9 ∈ R  → √3 + 9 = 9 + √3

15,87∈ R, –2.35 ∈ R   →15.87 + (–2.35) =  –2.35 + 15.87  d) Existencia del elemento neutro aditivo:El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. ∀ a ∈ R, 0 + a = a + 0 = a Ejemplos: 0 + 13 = 13 + 0 = 13 8763.218 + 0 = 8763.218

0 + (–56.41) = –56.51 e) Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso:Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0. a + ( -a) = -a + a = 0 , ∀ a ∈ R

Ejemplos:

10 + (-10) = 0

2/7 + ( -2/7) = 0

87.36 + (–87.36) = 0 –4.13 + 4.13 = 0

 

2.2- Propiedades de los reales en la resta o sustracción

Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los signos:

a) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.

Ejemplo:

28.7 – 11.2 = 17.5

b) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.

Ejemplo:

11.2 – 28.7 = –17.5

c) Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.

Ejemplo:

–28.1 – 11.2 = –39.3

Explicación paso a paso: