Question

ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Las ecuaciones diferenciales de la forma: dy/dx=g(x)h(y), se pueden resolver a través de la técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir: ∫▒〖1/(h(y)) dy〗=∫▒g(x)dx 2. Aplicando la definición, una solución de la siguiente ecuación diferencial: (y^2+1)-ye^(-x) dy/dx=0, con valor inicial y(0)=0, se puede simplificar como: e^x-ln√(y^2+1)=1 〖 e〗^x+ln√(y^2+1)=1 e^(-x)+ln√(y^2+1)=-1 e^(-x)-ln√(y^2+1)=1

Answer 1

   DATOS:
   Aplicando la definición,una solución de la siguiente ecuación
   diferencial =?
                                    
             ( y² + 1) - y * e⁻ˣ dy/dx =0     con valor inicial :  y(0) =0 
     SOLUCIÓN:

              ( y² + 1) = y * e⁻ˣ dy/dx 
                dx/ e⁻ˣ =  y / ( y² + 1 ) dy
                 ∫ eˣ dx = ∫  y dy/ ( y² + 1 ) 
                      eˣ  = (1/2)  ∫ du/u             método de sustitucion  u = y² +1 
                                                                   du = 2ydy     du/2 = ydy 
                      eˣ =(1/2) Ln( y² + 1)  + C 
              Con el valor inicial : y(0)=0 
                     e⁰  =(1/2)* Ln ( 0² + 1 )  + C 
                        C = 1 
              Entonces la solución de la ecuación diferencial es : 
                          eˣ = (1/2)* Ln ( y² + 1 )  + 1 
               se puede simplificar como : 
                           eˣ - Ln √( y² + 1 )  = 1