Question

AYUDA! Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A= (3, 5) y cuyo centro es la proyección ortogonal de A sobre la recta L: 3x+2y+4=0.

Answer 1

La proyeccion ortogonal de un punto dado referente a una recta, es la recta perpendicular a la recta que pasa por el punto dado.

En este caso la recta es:

L1: 3X + 2Y + 4 = 0

La debemos pasar a la manera Y = mX + b

2Y = -3X - 4

Y = (-3/2)X - 4/2

Y = (-3/2)X - 2

Donde m es la pendiente de la recta en nuestro caso:

m = -3/2

Ahora debemos hallar la recta que es perpendicular a la L1 que pasa por A

Recordemos que para que dos rectas sean perpendiculares el producto de las pendientes debe ser -1.

m1 = -3/2

m2 = ?

(m1)(m2) = -1

(-3/2)(m2) = -1

m2 = -1/(-3/2)

m2 = 2/3

Ahora tenemos una pendiente y un punto donde debe pasar esa recta

m = 2/3; Punto A: (3,5)

Usamos

Y - Y1 = m(X - X1)

Para nuestro caso:

X1 = 3; Y1 = 5; m = 2/3

Y - 5 = (2/3)(X - 3)

Y - 5 = 2X/3 - (2/3)(3)

Y - 5 = 2X/3 - 2

Y = 2X/3 - 2 + 5

L2: Y = 2X/3 + 3

En el punto donde se intersectan L1 y L2 ese sera el centro de nuestra circunferencia.

L1:   Y = (-3/2)X - 2

L2:   Y = 2X/3 + 3

En los puntos donde se intersecta tendran los mismo valores tanto para X como para Y asi que podemos usar igualacion para hallar los valores.

Y = (-3/2)X - 2

Y = (2/3)X + 3

(-3/2)X - 2 = (2/3)X + 3

-2 - 3 = 3X/2 + 2X/3


-5 = 3X/2 + 2X/3

Hacemos:

3/2 + 2/3 = [3(3) + 2(2)]/6 = [9 + 4]/6 = 13/6

-5 = 13X/6

Despenando

(-5)(6) = 13X

X = -30/13

Ahora reemplazo:

 Y = 2X/3 + 3

Y = (2/3)(-30/13) + 3

Y = -20/13 + 3

Y = -20/13 + 39/13

Y = 19/13

El punto donde se intersectan es: [(-30/13) , (19/13)]

Listo ahora el radio de nuestra circunferencia es la distancia comprendida entre centro (Punto donde se intersectan las rectas) y el punto A (3,5)

Centro: [(-30/13) , (19/13)]

A: (3 , 5)

Donde:

X1 = (-30/13); Y1 = 19/13;  X2 = 3; Y2 = 5

Usando la formula para hallar distancia:

d = √[(X2 - X1)² + (Y2 - Y1)²]

(X2 - X1)²

3 - (-30/13) = 3 + 30/13 = 39/13 + 30/13 = 69/13

(69/13)² = 4761/169

(X2 - X1)² = 4761/169

(Y2 - Y1) = 5 - 19/13

65/13 - 19/13 = 46/13

(Y2 - Y1)² = (46/13)² = 2116/169

d = √[(X2 - X1)² + (Y2 - Y1)²]

d = √[(4761/169) + (2116/169)]

d = √(6877/169)

d = √(529/13)

d ≈ 6.37905

El radio es aproximadamente de 6.37905

Ahora usamos la ecuacion canonica de la circunferencia:

(X - h)² + (Y - k)² = r²

Donde: (h , k) es el centro de la circunferencia en nuestro caso

[(-30/13) , (19/13)]

r² = Radio al cuadrado en nuestro caso

r = √(529/13)

r² = 529/13

(X - h)² + (Y - k)² = r²

(X - (-30/13))² + (Y - (19/13))² = 529/13


(X + 30/13)² = X² + 2(X)(30/13) + 900/169

X² + 60X/13 + 900/169

(Y - (19/13))² = Y² - 2(Y)(19/13) + 361/169

Y² - 38Y/13 + 361/169

(X² + 60X/13 + 900/169) + (Y² - 38Y/13 + 361/169) = 529/13


X² + Y² + 60X/13 - 38Y/13 + 1261/169 = 529/13


X² + Y² + 60X/13 - 38Y/13 + 1261/169 - 529/13 = 0

X² + Y² + 60X/13 - 38Y/13 - 432/13 = 0 : Ecuacion general de la circunferencia.


Te anexo grafica de la situacion.