Question

cantidad de movimiento lineal

Answer 1

Partimos de los datos:

$m_{a}=m \\ m_{b}=3m \\ v_{0a}=i \\ v_{0b}=0$

Llamaremos a las velocidades finales de cada cuerpo:

$v_{fa}= f_{a} \\ v_{fb}= f_{b}$

Sabemos que en la colisión se conserva el vector cantidad de movimiento lineal:

 $\overrightarrow{ p}_{0}=\overrightarrow{ p}_{f} \\ \\ m_{a} \overrightarrow{v}_{oa} + m_{b} \overrightarrow{v}_{oa} = m_{a} \overrightarrow{v}_{fa} + m_{b} \overrightarrow{v}_{fa} \\ \\ (m)(i)+(3m)(0)=(m)( f_{a})+(3m)( f_{b}) \\ \\ (m)(i)=(m)( f_{a})+(3m)( f_{b}) \\ \\ ( \diagup\!\!\!\!\!m)(i)=(\diagup\!\!\!\!\!m)( f_{a})+(3\diagup\!\!\!\!\!m)( f_{b}) \\ \\ i= f_{a}+3 f_{b} \\ \\ f_{a}=i-3f_{b} \ \ \ (1)$

Esa será la ecuación (1). Por otro lado, si el choque es elástico significa que la energía cinética del sistema se conserva:

$E_{ko}= E_{kf} \\ \\ \dfrac{1}{2} m_{a} v_{oa}^{2} + \dfrac{1}{2} m_{b} v_{ob}^{2}=\dfrac{1}{2} m_{a} v_{fa}^{2}+\dfrac{1}{2} m_{b} v_{fb}^{2} \\ \\ \diagup\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{1}{2} m \cdot i^{2}=\diagup\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{1}{2} m \cdot f_{a} ^{2}+\diagup\!\!\!\!\!\!\!\dfrac{3}{2} m \cdot f_{b} ^{2} \\ \\ i^{2}= f_{a} ^{2}+ 3 f_{b}^{2} \ \ \ (2)$

Reemplazamos la ecuación (1) en la (2):

$i^{2}=(i-3f_{b})^{2}+3 f_{b}^{2} \\ \\ \diagup\!\!\!\!\!i^{2}= \diagup\!\!\!\!\!i^{2}-6i f_{b}+12f_{b} ^{2} \\ \\12f_{b} ^{2}-6i f_{b}=0 \\ \\ 6f_{b} ^{2}-i f_{b}=0 \\f_{b}(6f_{b}-i)=0~\Longrightarrow \ \left\langle\begin{array}{c} f_{b} =0 \\ \\ 6 f_{b} -i=0\Longrightarrow \ \boxed{f_b=i/6}\end{array}\right$

Reemplazamos este hecho en la ecuación (1):

$f_{a}=i-3\left(\ \dfrac{i}{6}\right) \\ \\ f_{a}=i- \dfrac{i}{2} \\ \\ \therefore \boxed{f_{a}= i/2}$

Espero haberte ayudado, un saludo :)