Question

ECUACION EXPONENCIAL AYUDA

Answer 1

¡Buenas!

Texteando en LaTex...

Primero que nada vamos a escribir algunas propiedades de los radicales.

$\sqrt{x}\ \cdot\ \sqrt{x} = x$

$(x^n)^{m}=(x^m)^{n}=x^{m\ \cdot\ n}$

Ahora vamos a resolver

$( \sqrt{4- \sqrt{15} } )^{x}=(2 \sqrt{2} )^x- (\sqrt{4+ \sqrt{15} } )^{x} \\ \\ \sqrt{4- \sqrt{15} } )^{x}+(\sqrt{4+ \sqrt{15} } )^{x} =(2 \sqrt{2} )^x$

$a+b=c \\ \\ (a+b)^2=c^2$

$(\sqrt{4- \sqrt{15} } )^{x}+(\sqrt{4+ \sqrt{15} } )^{x})^{2} =((2 \sqrt{2} )^x)^2$

$Propiedad \\ \\ \sqrt{x}^2=x \\ \\ a = (\sqrt{4- \sqrt{15} } )^{x} \\ \\ a^2=((\sqrt{4- \sqrt{15} } )^{x} )^2 \\ \\ a^2=((\sqrt{4- \sqrt{15} } )^{2} )^x \\ \\ a^2=(4- \sqrt{15} )^x$

$b = (\sqrt{4+ \sqrt{15} } )^{x} \\ \\ b^2=((\sqrt{4+ \sqrt{15} } )^{x} )^2 \\ \\ b^2=((\sqrt{4+ \sqrt{15} } )^{2} )^x \\ \\ b^2=(4+ \sqrt{15} )^x$

$c = (2 \sqrt{2}) ^{x} \\ \\ c^2 = ((2 \sqrt{2}) ^{x}) ^2 \\ \\ c^2= ((2 \sqrt{2}) ^{2}) ^x \\ \\ c^2=8^x$

$\sqrt{x}^m\ \cdot\ \sqrt{y}^m =( \sqrt{x}\ \cdot\ \sqrt{y})^{m} = \sqrt{x\ \cdot\ y}^{m}$

$a^2+b^2+2ab=c^2 \\ \\ab= (\sqrt{4- \sqrt{15} } )^{x}\ \cdot\ (\sqrt{4+ \sqrt{15} } )^{x} \\ \\ ab= \sqrt{(4- \sqrt{15})\ \cdot\ (4+ \sqrt{15})}^x \\ \\ \\ab= \sqrt{4^2- \sqrt{15}^2 } ^x \\ \\ab= \sqrt{16-15}^x \\ \\ ab= \sqrt{1}^x \\ \\ ab= 1^x \\ \\ ab=1 \\ \\ 2ab=2 \\ \\ (4- \sqrt{15} )^x +(4+ \sqrt{15} )^x+2=8^x$

Hasta este punto podemos deducir el valor de $x$, que es 2.

RESPUESTA $\boxed{2}$

¡COMPROBAMOS!

$(4- \sqrt{15} )^x +(4+ \sqrt{15} )^x+2=8^x \\ \\ (4- \sqrt{15} )^2 +(4+ \sqrt{15} )^2+2=8^2 \\ \\ 4^2+ \sqrt{15}^2-2(4)( \sqrt{15} ) +4^2+ \sqrt{15}^2+2(4)( \sqrt{15} ) +2=64 \\ \\ 4^2+ \sqrt{15}^2+4^2+ \sqrt{15}^2+2(4)( \sqrt{15} )-2(4)( \sqrt{15} ) +2=64 \\ \\ 4^2+ \sqrt{15}^2+ 4^2+ \sqrt{15}^2+2=64 \\ \\ 16+15+16+15+2=64 \\ \\ 64=64 \\ \\ \boxed{ \boxed{64=64}}$ $\checkmark$