Question

La suma de tres cuadrados de 2018

Answer 1

Conociendo la altura de una ventana y la distancia de un punto de la calle a la pared de la ventana, se quiere calcular la longitud de una escalera cuyo pie descanse en el punto anterior y el extremo superior alcance el marco inferior de la ventana. Para resolver podemos modelar con un triángulo rectángulo: para lo cual un cateto h es la altura de la ventana, la distancia d del pie de escalera, el otro cateto; y la hipotenusa e, la longitud de la escalera. La fórmula resultante es e2 = h2 + d2 (1). Pero si queremos calcular la diagonal de un salón de clases, pensado como un prisma rectangular recto, necesitamos conocer tres medidas previas. [1] .

Contenido [ocultar] 1 Datos1.1 Suma de dos cuadrados1.2 Suma de tres cuadrados2 ReferenciasDatosAncho : aLargo: lAltura: h, todos ellos en la misma unidad de longitud.Por calcularDiagonal : dExigencia

Las tres medidas previas deben estar en números enteros positivos y cumplan la fórmula (1).

Suma de dos cuadrados

Se conoce que la fórmula (p2 - q2 )2 + ( 4p2 )× ( q2 ), con toda seguridad no da el cuadrado de un tercer número, precisamente (p2 + q2 )2 , que es un cuadrado perfecto [2]. Pero necesitamos sumar tres enteros cuadrados cuya suma sea también un cuadrado. O en una versión más simplificada (p2 - 1 )2 + 4p2 = (p2 + 1 )2

Suma de tres cuadrados

Fijándonos en la fórmula simplificada anterior podemos lanzar el patrón plausible:

(p2 + q2 - 1 )2 + 4p2 4q2 = (p2 + q2 + 1 )2 ; desarrollando en ambos miembros comprobamos la identidad y dicha fórmula resuelve el problema de hallar tres enteros cuadrados perfectos cuya suma sea también un cuadrado perfecto.Caso numérico

Considerando p = 3, q = 2 se obtiene la terna (12, 6, 4 ) que da como suma cuadrática 14, en efecto 122 + 62 + 4 2 = 142 .

ReferenciasVolver arriba↑ Jorge Polya: Cómo plantear y resolver problemas, Editorial Trillas, Ciudad de México , cuarta reimpresión, junio de 1974; traducción de Prof. Julián ZugazagastiaVolver arriba↑ A. A. Belski/ L.A. Kaluzhnin: División exacta, Editorial Mir, Moscú, 1980 ; traduce del ruso: Anonio, Molina GarcíaCategorías: GeometríaMatemáticas