Question

Encuentre el primer término de una progresión cuya diferencia común es 3/2 y la suma de sus tres primeros términos es 12. Adicionalmente, plantee el término general.

Answer 1

$\text{El t\'ermino general en una progresi\'on aritm\'etica es :} \\ a_n=a_1+(n-1)r \ \ ; \ r \text{ raz\'on o diferencia com\'un} \ \ , a_1 \text{ primer t\'ermino} \\[2pt]$

$\text{Los 3 primeros t\'erminos son: } \\[2pt] a_1 \ , \ a_1+r \ , \ a_1+2r \\[2pt] \text{por dato la suma de estos 3 es igual a 12} \\[2pt] a_1+a_1+r+a_1+2r=12\\[2pt] 3a_1+3r=12\\[2pt] \text{tambi\'en } \ r=\frac{3}{2} \ , \text{ reemplazando} \\[3pt] 3a_1+3\cdot \dfrac{3}{2}=12 \\[3pt] 3a_1+\dfrac{9}{2}=12\\[3pt] 3a_1=12-\dfrac{9}{2}=\dfrac{15}{2} \\[4pt] \Rightarrow \ a_1=\dfrac{15}{(2)(3)} \ \Rightarrow \ \ \boxed{a_1=\dfrac{5}{2}}$

$\text{Reemplazando } \ a_1=\frac{5}{2} \ , \ r=\frac{3}{2} \ \text{ en la f\'ormula general}. \\[6pt] a_n=\dfrac{5}{2}+(n-1)\cdot \dfrac{3}{2} \\[6pt] a_n=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}n-\dfrac{3}{2} \\[6pt] \boxed{a_n=\dfrac{2+3n}{2}}$