Cuál es la interpretación geométrica del módulo y del argumento de un número complejo

Respuestas

Respuesta dada por: Anónimo
6

Lo que hacíamos era adjudicar un vector a cada número complejo, que determinábamos según sus partes real e imaginaria. Así pues, en el fondo estábamos representando vectores en el plano.

Pero los vectores en el plano pueden ser entendidos también como una longitud y un ángulo que los separa del eje horizontal. Por eso, los números imaginarios también se pueden entender como una longitud (que será el módulo) y un ángulo. Veamos cómo se construye.

Para representar un número complejo  n forma polar se deben considerar el módulo y el argumento de éste. El módulo se refiere a la longitud del vector que lo representa en el plano, y el argumento se refiere al ángulo que forma con el eje horizontal.

Es decir, gráficamente sería:

Así, se tendrá que lo representaremos mediante un módulo y un argumento que escribiremos de la siguiente forma  donde:

a  se le llama módulo y es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la componente real y la componente imaginaria. Se suele escribir  o  y se puede pensar como la distancia desde el origen hasta el número complejo  si lo tenemos representado en el plano complejo. Así pues, se tiene:a  se le llama el argumento del número complejo  y es el ángulo que forma el número complejo  on el eje real (en sentido positivo) si lo tenemos representado en el plano complejo. Así pues, se tiene:

Se tiene entonces que el argumento de un número complejo no es único, puesto que la expresión  no determina unívocamente el argumente de un número, puesto que hay infinitos ángulos que cumplen la igualdad.

Ahora bien, si restringimos el valor de  para , hay dos ángulos que difieren en tienen la misma tangente. Para saber cuál de ellos es el argumento, tendremos en cuenta los signos de  y , de esta forma conseguiremos saber en que cuadrante está situado el vector del número complejo. Y nos dará el ángulo que buscamos.

Si la parte real y la imaginaria son positivas, el complejo vive en el primer cuadrante.

Ejemplo

Por ejemplo .

Si la parte real es negativa y la imaginaria es positiva, el complejo vive en el segundo cuadrante.

Ejemplo

Por ejemplo .

Si la parte real y la imaginaria son negativas, el complejo vive en el tercer cuadrante.

Ejemplo

Por ejemplo .

Si la parte real es positiva y la imaginaria es negativa, el complejo vive en el cuarto cuadrante.

Ejemplo

Por ejemplo .

Ejemplo

Vamos a calcular el módulo y argumento del número .

El complejo  tiene por módulo:

y el argumento es:

porqué tanto la parte real como la imaginaria son positivas y por lo tanto el complejo vive en el primer cuadrante.

De manera que para representarlo en forma polar este complejo es

Esta manera de trabajar nos permite pasar de un número complejo expresado en forma binómica a un número complejo expresado en forma polar

Adjuntos:
Preguntas similares