Question

Las ganancias anuales de un comerciante durante 11 años están en progresión aritmetica. El primer año ganó $118,000 y el último $618,000. ¿Cuánto más ganó en cada año a contar del segundo año, que el anterior?

Answer 1

Como se trata de una progresión aritmética podemos decir que existe una razón (la razón en una progresión aritmética es aquel valor que va sumando cada vez al anterior), entonces va así.

$118'000;\ 118'000+r;\ 118'000+2r;\ ...\;\ 118'000+(n-1)r.$

Esta sucesión representa la cantidad que va recaudando el comerciante, cada año gana una cierta cantidad de dinero que desconocemos ($r$) y se va sumando.

Siendo el término $118'000+(n-1)r$ el ene-ésimo término.

El problema nos dice que el último término, (o sea su última ganancia) fue de $ 618'000, vamos a decir que el término "n" fue su último año.

$118'000+(n-1)r = 618'000 \\ \\ (n-1)r=500'000$

pero el problema nos dice que su trabajo duro 11 años, entonces su último año fue el onceavo.

$(n-1)r=500'000 \\ \\ (11-1)r=500'000 \\ \\ 10r=500'000 \\ \\ r=50'000$

La razón es de $ 50'000, es decir cada año gana $ 50'000.

Ahora para saber cuanto recaudo en el segundo año, usaremos la fórmula para hallar el ene-ésimo término.

$t_{n}=118'000+(n-1)50'000 \\ \\ t_{2}=118'000+(2-1)50'000 \\ \\ t_{2}=118'000+50'000 \\ \\ t_{2}=168'000$

En el segundo año recaudo $ 168'000