Question

Regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones

Answer 1

Existen una serie de reglas que pueden ayudar a determinar las raíces de una ecuación:

El teorema de Bolzano, que establece que si una función continua, f(x), toma en los extremos del intervalo [a,b] valores de signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una raíz en dicho intervalo.
En el caso en que f(x) sea una función algebraica (polinómica) de grado n y coeficientes reales, podemos afirmar que tendrá n raíces reales o complejas.
La propiedad más importante que verifican las raíces racionales de una ecuación algebraica establece que si p/q es una raíz racional de la ecuación de coeficientes enteros:
\begin{eqnarray*}a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \dots + a_{n}x^{n} = 0 & (a_{i} \in
\mathcal{Z})
\end{eqnarray*}

entonces el denominador q divide al coeficientes an y el numerador p divide al término independiente a0.
Ejemplo: Pretendemos calcular las raíces racionales de la ecuación:

3x3 + 3x2 - x - 1 = 0

Primero es necesario efectuar un cambio de variable x = y/3:
\begin{displaymath}3\frac{y^{3}}{3^{3}} + 3\frac{y^{2}}{3^{2}} - \frac{y}{3} - 1 = 0
\end{displaymath}

y después multiplicamos por 32:
y3 + 3y2 -3y -9 = 0

con lo que los candidatos a raíz del polinomio son:
\begin{eqnarray*}y = 9; & y = -9; \\
y = 3; & y = -3; \\
y = 1; & y = -1
\end{eqnarray*}

Sustituyendo en la ecuación, obtenemos que la única raíz real es y = -3, es decir, $x = \frac{-3}{3} = -1$ (que es además la única raíz racional de la ecuación). Lógicamente, este método es muy poco potente, por lo que sólo nos puede servir a modo de orientación.