Question

Ayuda!!
Demostrar la siguiente identidad trigonométrica

$\sin(x) \times \cos(y + z) - \sin(y) \times \cos(x + z) = \sin(x - y) + \cos(z)$

Answer 1

$sen(x)cos(y+z)-sen(y)cos(x+z)= \\ \\ sen(x)[cos(y)cos(z)-sen(y)cos(x)] \\ -sen(y)[cos(x)cos(z)-sen(x)sen(z)]= \\ \\ sen(x)cos(y)cos(z)-sen(x)sen(y)sen(z) \\ -sen(y)cos(x)cos(z)+sen(y)sen(x)sen(z)$

Se me simplifican el segundo y tercer término y me queda:

$=sen(x)cos(y)cos(z)-sen(y)cos(x)cos(z) \\ \\ =cos(z)[sen(x)cos(y)-sen(y)cos(x)] \\ \\ =cos(z) \cdot sen(x-y)= \boxed{sen(x-y) \cdot cos(z)} \ \ l.q.q.d.$

Y eso sería todo, ¡¡un saludo!!

Answer 2

كلبكلبكلب


por arcos compuestos 

sen(A-B) = senA.cosB-cosAsenB

luego

cos(y+z)= cosy.cosz - seny.senz
cos(y+z).senx= senx(cosy.cosz - seny.senz) -------- 1

luego

cos(x+z) =cosx.cosz - senx.senz
cos(x+z).seny = seny(cosx.cosz - senx.senz)   ---------2

restando 2 y 1 

U=cos(y+z).senx - cos(x+z).seny

U=senx(cosy.cosz - seny.senz) - seny(cosx.cosz - senx.senz)  
U=senxcosycosz - senxsenysenz - senycosx.cosz + senxsenysenz
U=senx.cosycosz - senycosxcosz
U= cosz(senx.cosy - senycosx)
U= cosz . sen(x-y)