Question

Tony se propone leer una novela diariamente, el primer día lee tres páginas, el segundo día lee 8 páginas, el tercer día 15 páginas, el cuarto día 24 páginas y así sucesivamente hasta que en ciertos día se da cuenta que el número de páginas que ha leído ese día es 14 veces el número de días que ha estado leyendo. El número de páginas leídas en dicho día es:

Answer 1

Tenemos una progresión dentro de otra progresión. 
La diferencia 1 (de primer orden) se aprecia que no es constante sino que va aumentando según cambiamos de un término al siguiente.
La diferencia 2 (de segundo orden) sí es constante y son 2 unidades las que aumenta en cada paso de términos.

Este tipo de progresiones se conocen como progresiones cuadráticas porque al calcular su término general se nos queda una expresión similar a la de una ecuación de 2º grado, es decir:  ax²+bx+c

Analizo esta progresión:

Términos
de la progresión:       1º              2º             3º            4º
Progresión inicial:      3               8             15           24 ... etc
Diferencia 1:                    +5            +7           +9         ⇒ (primer orden)
Diferencia 2:                            +2            +2                ⇒ (segundo orden)

Ahí se puede observar que la diferencia entre términos es creciente. Eso sería en la "diferencia 1"

En el segundo orden "diferencia 2" es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de 2 unidades entre dos términos consecutivos,  
3+2 = 5 ... 5+2 = 7 ...  7+2 = 9 ... etc...

Lo que resulta algo más engorroso de obtener es la regla (o fórmula) que nos permita saber el valor de cualquier término de esa sucesión simplemente conociendo el lugar que ocupa en ella. 

Para llegar a conocer el término enésimo de esta sucesión hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) de la expresión anotada al principio pero con la letra "n" en lugar de "x", o sea: "an²+bn+c" 
y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos del desarrollo de la sucesión escrita arriba y que he remarcado en negrita.

Para conocer el valor de los coeficientes se hace esto:

1er. térm. de prog. inicial = 3 ... lo llamo C
Diferencia 1 = ---------------+5 ...  lo llamo B
Diferencia 2 = ---------------+2 ...  lo llamo A

Y ahora hay que acudir a esta expresión:

$a_n= \dfrac{A}{2} *n^2+(B- \dfrac{3}{2} *A)*n+(A-B+C)$

Es una fórmula que hay que memorizar para poder resolver las sucesiones cuadráticas.  

Sustituiré las letras A,B,C, por los valores especificados y en cuanto reduzca términos semejantes habré obtenido la regla o fórmula del término n-ésimo.

$a_n= \dfrac{2}{2} *n^2+(5- \dfrac{3}{2} *2)*n+(2-5+3) \\ \\ \\ a_n=n^2+2n$

Ahí queda el término general de esta sucesión y que si sustituyes "n" por la sucesión de números naturales, empezando por el 1, verás que van apareciendo los términos de la sucesión inicial.

Al pedirnos el nº de páginas leídas un día concreto cuyo nº de orden "n" no nos da como dato, nos está pidiendo el término  $a_n$  

Pero sí que nos relaciona los dos datos al afirmar que el número de páginas que ha leído ese día es 14 veces el número de días que ha estado leyendo

Según eso podemos decir que:  $a_n=14n$  por tanto sustituyo uno por otro en la fórmula obtenida arriba:

14n = n²+2n ... reordenando términos ... 
n² + 2n -14n = 0
n² -12n = 0

Queda resolver esta ecuación incompleta de 2º grado y es de las más sencillas puesto que al sacar factor común...

n·(n-12) = 0

El razonamiento es que tenemos un producto con dos factores: "n" y "(n-12)" donde ya una de las soluciones será que la "n" que está fuera del paréntesis sea igual a cero pero esa solución no nos vale para el resultado del ejercicio.

Así que la única solución válida es que lo de dentro del paréntesis sea igual a cero, o sea:

n-12 = 0 ... y por tanto ... n = 12 días ha estado leyendo.

Lo multiplicamos por 14 y conseguimos la respuesta al ejercicio:
12×14 = 168 páginas lee ese día.

Saludos.