Question

b) En la construcción de una carretera se encuentra una montaña de 250 metros de altura, a través de ella se construirá un túnel. La punta de la montaña se observa bajo un ángulo de 48° 30´ desde un punto P en un extremo de la montaña, y bajo un ángulo de 38° desde el otro extremo. ¿Cuál será la longitud del túnel?

Answer 1

En la construcción de una carretera se encuentra una montaña de 250 metros de altura, a través de ella se construirá un túnel. La punta de la montaña se observa bajo un ángulo de 48° 30´ desde un punto P en un extremo de la montaña, y bajo un ángulo de 38° desde el otro extremo. ¿Cuál será la longitud del túnel?
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Paso los ángulos de forma compleja (sistema sexadecimal) a forma incompleja (sistema decimal)

Para ello, divido los minutos entre 60' que tiene un grado y así lo convierto a decimales de grado.

30'/60 = 0,5º por lo que el ángulo pasa a ser de 48,5º
El otro ángulo sólo tiene grados y por lo tanto queda igual: 38º

Necesitamos saber la longitud del túnel por tierra y esa longitud queda dividida en dos partes al trazar la altura de la montaña que sí que sabemos que mide 250 m.

Trazando dicha altura tenemos dos triángulos rectángulos en los que conocemos un ángulo y su lado opuesto que es justamente la altura.

Calculando el lado adyacente a cada ángulo mediante la función tangente y sumando lo que miden dichos lados llegaremos a la solución.

Tg.48,5º = 1,13
Tg.38º  = 0,78

Tg. de un ángulo = cateto opuesto / cateto adyacente
Cateto adyacente = cateto opuesto / Tg.

Cateto adyacente al ángulo de 48,5º = 250 / 1,13 = 221 m.
Cateto adyacente al ángulo de 38º = 250 / 0,78 = 320 m.

Por lo tanto, el túnel medirá 320+221 = 541 m.

Saludos. 

Answer 2

La longitud del túnel a través de una montaña es:

541.22 m

¿Cuáles son razones trigonométricas?

Son las relaciones que se forman entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos.

• Sen(α) = Cat. Op/Hip
• Cos(α) = Cat. Ady/Hip
• Tan(α) = Cat. Op/Cat. Ady

¿Qué es una trasformación o conversión de unidades?

Es un cambio de la magnitud física a otra que sea otra equivalente. Esta transformación sigue las normas de sistema internacional de unidades.

• Los ángulos se pueden expresar en grados (°) y en el sistema sexagesimal grados ( ° ), minutos ( ' ) y segundos ( '' ).

¿Cuál será la longitud del túnel?

Pasar a grados decimales al ángulo:

30' × 1º/60' = 0,5

Se suma:

48º 30' = 48º + 0,5º = 48.5º

La longitud del túnel es la suma de a más b:

Aplicar razones trigonométricas;

• Tan(48.5º) = 250/a
• Tan(38º) = 250/b

Despejar a y b;

• a = 250/Tan(48.5º)
• b = 250/Tan(38º)

Sumar:

a + b = 250[1/Tan(48.5º) + 1/Tan(38º)]

a + b = 250 (0.885 + 1.2799)

a + b = 541.22 m

Puedes ver más sobre razones trigonométricas aquí: https://brainly.lat/tarea/5066210