Question

ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Las ecuaciones diferenciales de la forma: dy/dx=g(x)h(y), se pueden resolver a través de la técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir: ∫▒〖1/(h(y)) dy〗=∫▒g(x)dx 2. Aplicando la definición, una solución de la siguiente ecuación diferencial: (y^2+1)-ye^(-x) dy/dx=0, con valor inicial y(0)=0, se puede simplificar como: e^x-ln√(y^2+1)=1 〖 e〗^x+ln√(y^2+1)=1 e^(-x)+ln√(y^2+1)=-1 e^(-x)-ln√(y^2+1)=1

Answer 1

   DATOS: 
  Aplicando la definición una solución de la siguiente ecuación diferencial =?
         ( y² +1 ) - ye⁻ˣ dy/dx =0      con y(0)=0 
   SOLUCION:
        Resolviendo por variables separables :
             ( y² + 1)   = ye⁻ˣ dy/dx
                    eˣ dx = y/(y²  + 1) dy
                  ∫ eˣ dx = ∫ y/ ( y² + 1) dy 
                      eˣ  =  ∫  y / u  *du/2y     con metodo de sustitucion 
                      eˣ  = (1/2) ∫du/u                u = y² + 1      du = 2y dy  du = du/2y
                      eˣ   = (1/2) Ln ( y² + 1) + C 
                      eˣ   =  Ln √ (y² + 1 )     + C 
                      e⁰   = Ln( 0² + 1 ) + C 
                         C = 1 
               respuesta la segunda  :        eˣ = Ln ( y² + 1 ) +  1