Question

Un grifo va llenando un recipiente, de tal forma que cada minuto que pasa el grifo ha duplicado la cantidad de agua que hay en el recipiente. Si al cabo de una hora y media el recipiente está completamente lleno, ¿cuánto tiempo se habrá necesitado para llenar el recipiente un cuarto de su capacidad total?

Answer 1

$\text{Sea }V_o \text{ el volumen inicial , entonces sigue la regla de formaci\'on :} \\[4pt] \text{volumen : } \ V_o \ , \ 2V_o \ , \ 2^2V_o \ , \ 2^3V_o \ , \ 2^4V_o \ , \ 2^5V_o \ , \ ...\\[2pt] \text{Tiempo : \ \ } 0 \quad \quad 1 \quad \quad 2 \quad \quad \ \ 3 \quad \quad \quad 4 \quad \quad \quad 5 \ \ ...\\[4pt] \text{El volumen en funci\'on del tiempo se puede expresar como } \\[4pt] V(t)=2^t\,V_o \ \ , \ \ \text{donde el tiempo est\'a dado en minutos.}$

$\text{Sea }V_f\text{ el volumen total , adem\'as }1h \,30min=90\,min \\[2pt] \Rightarrow \ V(90)=2^{90}\,V_o\\[2pt] \Rightarrow \ V_f=2^{90}\,V_o \ ... \ (i) \\[4pt] \text{Para 1/4 de su capacidad :} \\[4pt] 2^{t}\,V_o=\dfrac{V_f}{4} \\[6pt] 2^t\,V_o=\dfrac{2^{90}\,V_o}{2^2} \ \ \text{se ha reemplazado } \ V_f=2^{90}\,V_o \\[8pt] \text{Simplificando }V_o \\[8pt] 2^t=2^{88} \ \Rightarrow \ \boxed{t=88 \ min} \ \leftarrow \ Respuesta.$

También se puede hacer de manera sencilla con razonamiento , veamos.

Si se llena totalmente en el minuto 90 

Entonces :

En el minuto 89 está a la mitad de su capacidad . 

En el minuto 88 está a la  mitad de la mitad de su capacidad es decir a la cuarta parte de su capacidad .

Por lo tanto la respuesta es 88 minutos , sin tanta fórmula .
 

Answer 2

Para llenar un cuarto de la capacidad total se requieren 88 minutos

Una progresión geométrica es una sucesión que comienza en un número a1 y los siguientes términos se consiguen multiplicando al anterior por una constante llamada razón denotada con la letra r.

El termino nesimo de una progresión geométrica es:

an = a1*rⁿ⁻¹

Si la cantidad inicial es a1, entonces en el primero minuto hay 2a1, por lo tanto el primer término es 2a1 y entonces debemos quitar la diferencia de 1 en el término general, luego de "n" minutos el agua es

an = a1*2ⁿ

Una hora y media es igual a: 60 min*1.5 = 90 min, sea T la capacidad total, entonces

T = a1*2⁹⁰

Luego si queremos llenar T/4

T/4 = a1*2⁹⁰/4

T/4 = a1*2⁹⁰/2²

T/4 = a1*2⁸⁸

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