Question

Se desea cercar un terreno de forma rectangular de manera que su área sea la máxima posible .Se dispone de 300 metros lineales de cerca y un rió pasa a lo largo de uno de sus lados que es aproximadamente recta en el que no se pondrá cerca.

a) Determina la expresión algebraica de la función que describe el problema(el área en función de uno de los lados del terreno)

b) Determina el valor del dominio para el cual el valor de la función es el máximo posible(área máxima)

Answer 1

$\textbf{Ver primero la imagen adjunta !!!}\\[4pt] \text{longitud de la cerca : } \ 2x+y=300 \ \Rightarrow \ y=300-2x}\\[4pt] \text{el terreno es un rect\'angulo su \'area es : } \ A=xy \\ \text{se reemplaza } \ y=300-2x \ \text{ en la expresi\'on del \'area}\\[2pt] A=(x)(300-2x)\\[2pt] \boxed{A=300x-2x^2} \ \ \leftarrow \ \ Respuesta \ de \ a$

$\text{Como el \'area debe ser mayor que cero , entonces :}\\[2pt] (x)(300-2x)\ \textgreater \ 0 \\[2pt] 2x(150-x)\ \textgreater \ 0 \\[2pt] \text{Puntos cr\'iticos }x=0 \ , \ x=150 \\[2pt] \text{Al resolver la desigualdad se obtiene :} \ 0\ \textless \ x\ \textless \ 150 \\[2pt] \text{esos son los valores que toma } x \text{ , es el dominio de la funci\'on.}\\[2pt] Dominio : \ (0 \ , \ 150)$

$A=300x-2x^2 \ \text{que ordenando queda :} \\[2pt] A=-2x^2+300x \\[2pt] \text{El coeficiente principal es negativo , entonces es una par\'abola que }\\ \text{se abre hacia abajo , su m\'aximo se da en su v\'ertice.} \\[4pt] f(x)=ax^2+bx+c \ \text{ su v\'ertice es } \ V=(h,k)=\left( -\dfrac{b}{2a} \ , \ f(h)\right) \\[4pt] \text{En el ejercicio : } \ A=-2x^2+300x \ \rightarrow \ a=-2 \ , \ b=300 \\[4pt] h=-\dfrac{300}{2(-2)}=75 \ \Rightarrow \ A(75)=-2(75^2)+300(75)=11250$

$\text{Entonces el m\'aximo valor del \'area se da para } \ x=75 \\[2pt] \text{y el valor del \'area m\'axima es } \ A_{max}=11\,250$

$\textbf{NOTA} \\[2pt] \text{Otra forma de calcular la abscisa del v\'ertice , es conociendo las}\\ \text{ra\'ices } \ x_1 \ , \ x_2 \text{ del polinomio cuadr\'atico .} \\[4pt] h=\dfrac{x_1+x_2}{2} \\[4pt] 300x-2x^2=0 \ \Rightarrow \ x=0 \ \vee \ x=150 \\[4pt] \Rightarrow \ h=\dfrac{0+150}{2}=75 \\[2pt] k=A(h)=300(75)-2(75^2)=11\,250$