Question

En una progresión aritmética. sabemos que a₄ =6 y a₉=16
a) Halla la diferencia a₁ y el término general de la progresión aritmética.
b) Aplicando la fórmula, halla la suma de los 45 primeros términos de la progresión.

Answer 1

Se usa la fórmula de interpolación de términos. Dice esto:

$d= \dfrac{b-a}{m+1}$

Si nos dan el 4º y el 9º término, entre ellos hay 4 términos a interpolar y este dato sería "m"

El término a₄ es "a"
El término a₉ es "b"
La diferencia entre términos es "d"

Sustituyo datos y sale esto:

$d= \dfrac{16-6}{4+1}=2$  (respuesta a la 1ª pregunta)

Ahora nos pide el primer término  a₁ el cual podemos despejar de la fórmula del término general apoyándonos en otro término conocido, por ejemplo, a₄

$a_n=a_1+(n-1)*d \\ \\ a_4 = 6=a_1+(4-1)*2 \\ \\ a_1=6-6 = 0$
Sabemos el primer término que es = 0 (respuesta a la 2ª pregunta)

Con eso se acude de nuevo a la fórmula del término general, en este caso para conocer el término n-ésimo, es decir, el valor de cualquier término de la progresión según el lugar que ocupe en ella, es decir, según el valor de "n".

$a_n=0+(n-1)*2 \\ \\ a_n=2n-2 = t\'ermino\ general$
(respuesta a la 3ª pregunta)

Como nos pide la suma de los 45 primeros términos, primero obtenemos el valor del término nº 45 con esa fórmula hallada:

a₄₅ = 2·45 -2 = 90 - 2 = 88

Finalmente vamos a la fórmula de suma de términos para obtener la respuesta a la última pregunta:

$S_n= \dfrac{(a_1+a_n)*n}{2} \\ \\ S_{45} = \dfrac{(0+88)*45}{2} =1980$

Saludos.