Question

Sea el polinomio: P(x)=X^3+KX^2-­5X+1, calcule el valor de "K" para que al dividir por (X-2), tenga como resto 11.

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. Ninguna de las anteriores

Answer 1

$Dividendo =(divisor)(cociente)+residuo \\[2pt] P(x)=(x-2)[q(x)]+11 \\[2pt] \text{Al evaluar para }x=2 \\[2pt] P(2)=0[q(x)]+11 \ \Rightarrow \ P(2)=11 \\[2pt] \text{Se eval\'ua }P(x)=x^3+kx^2-5x+1 \text{ en }x=2 \\[2pt] 2^3+k(2^2)-5(2)+1=11 \\[2pt] 8+4k-10+1=11 \\[2pt] 4k-1=11 \\[2pt] 4k=12 \ \Rightarrow \ k=3 \ \ \leftarrow \ Respuesta.$

$\text{NOTA :} \\[2pt] \text{B\'asicamente es aplicar el teorema del resto que dice , el resto de la}\\ \text{divisi\'on de un polinomio }P(x) \text{ entre un binomio de la forma }(x-a)\\ \text{es el valor del polinomio evaluado en }x=a \\[2pt] Resto =P(a)\\[4pt] \text{Aplicando esto , si el resto es 11 al dividir por }(x-2) \text{ entonces }\\[2pt] P(2)=11$