Question

El flujo sanguíneo conduce cierto medicamento hacia el interior de un órgano de un ser humano a una razón de 2 cm^3/seg , y se determina que sale de él a la misma velocidad. El órgano tiene un volumen líquido de 120 cm^3. Si la concentración del medicamento en la sangre que entra en el órgano es de 0,3 gr/ cm^3 , ¿cuál es la concentración del medicamento en el órgano en el instante t, si inicialmente la persona no tenía ninguna muestra que indicara que había consumido el medicamento previamente?, ¿En qué tiempo, la concentración del medicamento en el órgano será de 0,2 gr/cm^3 ?
Como es un ejercicio de aplicación de ecuaciones diferenciales sobre problemas de mezclas, la situación descrita está asociada a la siguiente ecuación diferencial lineal: dx/dt+Q_2 (x(t))/(V_0+(Q_1-Q_2 )t)=Q_1 C_1 que permite encontrar la ley de variación de la cantidad de medicamento x (t) en un instante de tiempo t.

Answer 1

   La cantidad de medicamento en el órgano esta determinada por la 
   ecuación diferencial:
                                          fs(t)
            x' (t) = Ce(t)fe(t) - ____ x(t) , donde V(t) = fe(t) - fs(t) 
                                           V(t) 

   En este caso fs(t)=fe(t) = 2 cm³ y por lo tanto V(t) = 120 cm³ para
   todo t .Ademas Ce(t) =0.3 g y como inicialmente en el órgano no 
   hay medicamento , el problema de valor inicial que determina la 
   cantidad de medicamento en el órgano esta dada por:
                                      2
                  x'(t) =0,6 - _____ x(t)  ,  x(0) =0
                                      120
     Aplicando la formula de Lagrange, la cantidad de medicamento en
     el órgano esta dada por:

                                  t  ⁻2(t - s)/120             -2t/120 
                 x(t) = 0.6 ∫₀ e   ds        = 25 ( 1 - e             )

      Así que la concentración del medicamento en el órgano , C(t)=x(t)/V
     esta dada por :
                                                 -2t/120
                        C(t) = 0.3 ( 1 - e             )  g/cm³

      Si t₁ es el instante en el que la concentración es 0.2 g /cm³, es                                                                                   -2t₁/120
      necesario verificar que 0.2 = 0.3 ( 1- e       ) , es decir, 2t₁/120=Ln3
       t₁ = ( 120/2 )Ln3 = 60*Ln3 = 65.92 seg.