Question

 los puntos A(1,0),B(9,2) Y C(3,6) son los vertices de un triangulo encontara a) las ecuaciones de los lados; b) las ecuaciones de las medianas y su punto de interseccion; c) las ecuaciones de las alturas y su punto de interseccion; d) las ecuaciones de las medianas y su punto de interseccion

Answer 1

1) lado AB: con los puntos A(1,0) y B(9,2), usamos la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos: $<var>\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}</var>$

 

$<var>\frac{y-0}{x-1}=\frac{2-0}{9-1}\ \ \ \frac{y}{x-1}=\frac{1}{4}\ \ \ 4y=x-1 \ \ \ \ \ \ 4y-x+1=0</var>$

 

Lado BC: con los puntos B(9,2)C(3,6); lo mismo que la anterior:

 

$<var>\frac{y-2}{x-9}=\frac{6-2}{3-9}\ \ \ \frac{y-2}{x-9}=-\frac{2}{3}\ \ \ \ 3y-6=-2x+18\ \ \ \ 3y+2x-24=0</var>$

 

Lado CA: con los puntos C(3,6) y A(1,0)

 

$<var>\frac{y-6}{x-3}=\frac{0-6}{1-3}\ \ \ \ \frac{y-6}{x-3}=3\ \ \ \ y-6=3x-9\ \ \ \ y-3x+3=0</var>$

 

2) Ecuacion de las medianas: Encontremos los puntos medios de cada lado:

 

AB: $<var>(\frac{x_{2}+x_{1}}{2},\frac{y_{2}+y_{1}}{2})</var>$

 

Si A(1,0) y B(9,2) D=((1+9)/2,(2+0)/2)   D=(5,1), la recta que une al punto D con el vertice C sera mediana. Utiliamos la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos:

 

$<var>\frac{y-6}{x-3}=\frac{1-6}{5-3}\ \ \ \ \frac{y-6}{x-3}=-\frac{5}{2}\ \ \ \ 2y-12=-5x+15\ \ \ 2y+5x-27=0</var>$

 

BC: B(9,2) C(3,6)

 

E=((9+3)/2,(6+2)/2)=   E=(6,4) La recta que une al punto E con el vertice A sera mediana:

 

A(1,0) y E(6,4):

 

$<var>\frac{y-0}{x-1}=\frac{4-0}{6-1}\ \ \ \ \frac{y}{x-1}=\frac{4}{5}\ \ \ \ 5y=4x-4\ \ \ \ 5y-4x+4=0</var>$

 

Lado CA: C(3,6) y A(1,0)

 

F((3+1)/2,(6+0)/2):  F=(2,3) La recta que une al punto F con el vertice B sera mediana:

 

$<var>\frac{y-2}{x-9}=\frac{3-2}{2-9}\ \ \ \ \frac{y-2}{x-9}=-\frac{1}{7}\ \ \ \ 7y-14=-x+9\ \ \ \ \ 7y+x-23=0</var>$

 

Para encontrar el punto de interseccion de las medianas hacemos un sistema de ecuaciones con 2 de ellas:

 

7y+x-23=0 x 4  28y+4x-92=0

5y-4x+4=0         5y-4x +4=0

                     ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

                      33y-88=0        y=88/33;  y= 8/3

 

Sustituimos el valor de y en la ecuacion:  7y+x-23=0

 

$<var>7(\frac{8}{3})+x-23=0\ \ \ x=13/3</var>$   

 

El punto de interseccion de las medianas es G(13/3,8/3)

 

3) En un triángulo la altura respecto de un lado, es el segmento que va desde el pie de la perpendicular a dicho lado o a su prolongación hasta el vértice opuesto a dicho lado.

 

a) Altura correspondiente al lado AB; la pendiente del lado AB es m=1/4, entonces la recta perpendicular tendra pendiente=m=-1/(1/4); m=-4; el vertice opuesto es el C; construimos la recta con la ecuacion punto pendiente: (y-y1)=m(x-x1)

 

y-6=-4(x-3); y-6=-4x+12; y+4x-18=0 Altura 1

 

b)  Altura correspondiente al lado BC; la pendiente del lado BC es m=-2/3, entonces la recta perpendicular tendra pendiente=m=-1/(-2/3); m=3/2; el vertice opuesto es el A(1,0)

 

y-0=3/2(x-1);  2y=3x-3;  2y-3x+3=0 Altura 2

 

c) Altura correspondiente al lado CA; la pendiente del lado CA es m=3, entonces la recta perpendicular tendra pendiente=m=-1/(3); m=-1/3; el vertice opuesto es el B(9,2)

 

y-2=-1/3(x-9);  3y-6=-x+9;  3y+x-15=0 Altura 3

 

El punto interseccion u ortocentro lo hacemos con dos de las tres alturas:

 

2y-3x+3=0         2y-3x+3=0

3y+x-15=0 x3    9y+3x-45=0

                       ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨

                         11y-42=0  y=42/11; sustituimos el valor de y en la ecuacion            2y-3x+3=0

 

2(42/11)-3x+3=0  x=-39/11 La interseccion de las tres alturas corresponden al punto: H (39/11,42/11).

 

Exito.