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Como cuando remplazas con 1 llegas a una indeterminación que es 0/0 aplicas L'Hospital y
La respuesta es 2/3
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1
Sin l'Hôpital
![\displaystyle L=\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x+8}-3}{2-\sqrt{5-x}}=\frac{0}{0} \ \ \text{indeterminado}\\[6pt]
\text{Para levantar la indeterminaci\'on en este ejercicio se multiplica por}\\
\text{la conjugada del numerador y del denominador.}
\displaystyle L=\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x+8}-3}{2-\sqrt{5-x}}=\frac{0}{0} \ \ \text{indeterminado}\\[6pt]
\text{Para levantar la indeterminaci\'on en este ejercicio se multiplica por}\\
\text{la conjugada del numerador y del denominador.}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+L%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+1%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%2B8%7D-3%7D%7B2-%5Csqrt%7B5-x%7D%7D%3D%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D++%5C++%5C+%5Ctext%7Bindeterminado%7D%5C%5C%5B6pt%5D%0A%5Ctext%7BPara+levantar+la+indeterminaci%5C%27on+en+este+ejercicio+se+multiplica+por%7D%5C%5C%0A%5Ctext%7Bla+conjugada+del+numerador+y+del+denominador.%7D%0A)
![\displaystyle L=\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x+8}-3}{2-\sqrt{5-x}}\cdot \frac{\sqrt{x+8}+3}{\sqrt{x+8}+3}\cdot\frac{2+\sqrt{5-x}}{2+\sqrt{5-x}}\\[6pt]
L=\lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)(2+\sqrt{5-x}\,)}{(2-\sqrt{5-x}\,)(2+\sqrt{5-x})(\sqrt{x+8}+3)} \displaystyle L=\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x+8}-3}{2-\sqrt{5-x}}\cdot \frac{\sqrt{x+8}+3}{\sqrt{x+8}+3}\cdot\frac{2+\sqrt{5-x}}{2+\sqrt{5-x}}\\[6pt]
L=\lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)(2+\sqrt{5-x}\,)}{(2-\sqrt{5-x}\,)(2+\sqrt{5-x})(\sqrt{x+8}+3)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+L%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+1%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%2B8%7D-3%7D%7B2-%5Csqrt%7B5-x%7D%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%2B8%7D%2B3%7D%7B%5Csqrt%7Bx%2B8%7D%2B3%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2%2B%5Csqrt%7B5-x%7D%7D%7B2%2B%5Csqrt%7B5-x%7D%7D%5C%5C%5B6pt%5D%0AL%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+1%7D%5Cfrac%7B%28%5Csqrt%7Bx%2B8%7D-3%29%28%5Csqrt%7Bx%2B8%7D%2B3%29%282%2B%5Csqrt%7B5-x%7D%5C%2C%29%7D%7B%282-%5Csqrt%7B5-x%7D%5C%2C%29%282%2B%5Csqrt%7B5-x%7D%29%28%5Csqrt%7Bx%2B8%7D%2B3%29%7D)
![\text{Aplicando diferencia de cuadrados : }(a+b)(a-b)=a^2-b^2 \\[4pt]
\displaystyle L=\lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{x+8}^{\,2}-3^2)(2+\sqrt{5-x}\,)}{(2^2-\sqrt{5-x}^{\,2})(\sqrt{x+8}+3)} \\[4pt]
L=\lim_{x \to 1}\frac{(x+8-9)(2+\sqrt{5-x}\,)}{(4-(5-x))(\sqrt{x+8}+3)}=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(2+\sqrt{5-x}\,)}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} \\[6pt]
\text{Se simplifica el factor }(x-1) \\[4pt]
L=\lim_{x \to 1}\frac{2+\sqrt{5-x}}{\sqrt{x+8}+3}=\frac{2+\sqrt{5-1}}{\sqrt{1+8}+3}=\frac{2+2}{3+3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
\text{Aplicando diferencia de cuadrados : }(a+b)(a-b)=a^2-b^2 \\[4pt]
\displaystyle L=\lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{x+8}^{\,2}-3^2)(2+\sqrt{5-x}\,)}{(2^2-\sqrt{5-x}^{\,2})(\sqrt{x+8}+3)} \\[4pt]
L=\lim_{x \to 1}\frac{(x+8-9)(2+\sqrt{5-x}\,)}{(4-(5-x))(\sqrt{x+8}+3)}=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(2+\sqrt{5-x}\,)}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} \\[6pt]
\text{Se simplifica el factor }(x-1) \\[4pt]
L=\lim_{x \to 1}\frac{2+\sqrt{5-x}}{\sqrt{x+8}+3}=\frac{2+\sqrt{5-1}}{\sqrt{1+8}+3}=\frac{2+2}{3+3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctext%7BAplicando+diferencia+de+cuadrados+%3A+%7D%28a%2Bb%29%28a-b%29%3Da%5E2-b%5E2+%5C%5C%5B4pt%5D%0A%5Cdisplaystyle+L%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+1%7D%5Cfrac%7B%28%5Csqrt%7Bx%2B8%7D%5E%7B%5C%2C2%7D-3%5E2%29%282%2B%5Csqrt%7B5-x%7D%5C%2C%29%7D%7B%282%5E2-%5Csqrt%7B5-x%7D%5E%7B%5C%2C2%7D%29%28%5Csqrt%7Bx%2B8%7D%2B3%29%7D++%5C%5C%5B4pt%5D%0AL%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+1%7D%5Cfrac%7B%28x%2B8-9%29%282%2B%5Csqrt%7B5-x%7D%5C%2C%29%7D%7B%284-%285-x%29%29%28%5Csqrt%7Bx%2B8%7D%2B3%29%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+1%7D%5Cfrac%7B%28x-1%29%282%2B%5Csqrt%7B5-x%7D%5C%2C%29%7D%7B%28x-1%29%28%5Csqrt%7Bx%2B8%7D%2B3%29%7D+%5C%5C%5B6pt%5D%0A%5Ctext%7BSe+simplifica+el+factor+%7D%28x-1%29+%5C%5C%5B4pt%5D%0AL%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+1%7D%5Cfrac%7B2%2B%5Csqrt%7B5-x%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%2B8%7D%2B3%7D%3D%5Cfrac%7B2%2B%5Csqrt%7B5-1%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1%2B8%7D%2B3%7D%3D%5Cfrac%7B2%2B2%7D%7B3%2B3%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B6%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%0A)
![\text{Por lo tanto :}\\[10pt]
\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x+8}-3}{2-\sqrt{5-x}}=\frac{2}{3}
\text{Por lo tanto :}\\[10pt]
\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x+8}-3}{2-\sqrt{5-x}}=\frac{2}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctext%7BPor+lo+tanto+%3A%7D%5C%5C%5B10pt%5D%0A%5Cdisplaystyle%5Clim_%7Bx+%5Cto+1%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%2B8%7D-3%7D%7B2-%5Csqrt%7B5-x%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%0A)
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