Question

PORFAVOR! quien me puede desarrollar este limite?

Answer 1

Como cuando remplazas con 1 llegas a una indeterminación que es 0/0 aplicas L'Hospital y
La respuesta es 2/3

Answer 2

Sin  l'Hôpital

$\displaystyle L=\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x+8}-3}{2-\sqrt{5-x}}=\frac{0}{0} \ \ \text{indeterminado}\\[6pt] \text{Para levantar la indeterminaci\'on en este ejercicio se multiplica por}\\ \text{la conjugada del numerador y del denominador.}$

$\displaystyle L=\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x+8}-3}{2-\sqrt{5-x}}\cdot \frac{\sqrt{x+8}+3}{\sqrt{x+8}+3}\cdot\frac{2+\sqrt{5-x}}{2+\sqrt{5-x}}\\[6pt] L=\lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3)(2+\sqrt{5-x}\,)}{(2-\sqrt{5-x}\,)(2+\sqrt{5-x})(\sqrt{x+8}+3)}$

$\text{Aplicando diferencia de cuadrados : }(a+b)(a-b)=a^2-b^2 \\[4pt] \displaystyle L=\lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{x+8}^{\,2}-3^2)(2+\sqrt{5-x}\,)}{(2^2-\sqrt{5-x}^{\,2})(\sqrt{x+8}+3)} \\[4pt] L=\lim_{x \to 1}\frac{(x+8-9)(2+\sqrt{5-x}\,)}{(4-(5-x))(\sqrt{x+8}+3)}=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(2+\sqrt{5-x}\,)}{(x-1)(\sqrt{x+8}+3)} \\[6pt] \text{Se simplifica el factor }(x-1) \\[4pt] L=\lim_{x \to 1}\frac{2+\sqrt{5-x}}{\sqrt{x+8}+3}=\frac{2+\sqrt{5-1}}{\sqrt{1+8}+3}=\frac{2+2}{3+3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$\text{Por lo tanto :}\\[10pt] \displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x+8}-3}{2-\sqrt{5-x}}=\frac{2}{3}$