Question

dos vértices de un triangulo equilatero son A(8, 2) y B(2,8) encuentra el tercer vértice del triángulo

Answer 1

$\text{Distancia entre los puntos }M(x_1,y_1) \ , \ N(x_2,y_2)\\[4pt] d[M,N]=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\[6pt] A(8,2) \ , \ B(2,8) \ , \ C(x,y) \\[2pt] \text{dado que es equil\'atero , }d[A,C]=d[B,C]=d[A,B] \\[4pt] \sqrt{(x-8)^2+(y-2)^2}=\sqrt{(x-2)^2+(y-8)^2}=\sqrt{(2-8)^2+(8-2)^2}\\[4pt] \text{elevando al cuadrado}\\[2pt] (x-8)^2+(y-2)^2=(x-2)^2+(y-8)^2=72 \ ... \ (i)$

$\text{De } (i) \text{ igualando las 2 primeras }\\[2pt] (x-8)^2+(y-2)^2=(x-2)^2+(y-8)^2\\[2pt] \text{se desarrollan los binomios} \\[2pt] x^2-16x+64+y^2-4y+4=x^2-4x+4+y^2-16y+64 \\[2pt] \text{simplificando t\'erminos semejantes queda } \\[2pt] -16x-4y=-4x-16y \ \Rightarrow \ 12y=12x \ \Rightarrow \ \boxed{y=x} \\[2pt] \text{Luego , las coordenadas de C son } \ C(x,x)$

$\text{De } (i) \text{ igualando las 2 \'ultimas }\\[2pt] (x-2)^2+(y-8)^2=72 \\[2pt] \text{se reemplaza }y=x \ \text{ y se resuelve } \\[2pt] (x-2)^2+(x-8)^2=72 \\[2pt] x^2-4x+4+x^2-16x+64=72 \\[2pt] 2x^2-20x+68=72 \\[2pt] 2x^2-20x-4=0 \\[2pt] x^2-10x-2=0 \\[2pt] \text{por f\'ormula de la cuadr\'atica}\\[2pt] x=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{(-10)^2-4(1)(-2)}}{2(1)}=\dfrac{10\pm \sqrt{108}}{2}=\dfrac{10\pm 6\sqrt{3}}{2} \\[2pt] x=5\pm 3\sqrt{3} \ \Rightarrow \ x=5+\sqrt{3} \ \vee \ x=5-3\sqrt{3}$

$\text{Como las coordenadas pueden ser positivas o negativas , entonces}\\ \text{hay 2 soluciones.} \\[4pt] C(5+3\sqrt{3} \ , \,5+3\sqrt{3}) \ \ \vee \ \ C(5-3\sqrt{3} \ , \,5-3\sqrt{3})$