Question

Alguien que me ayude a resolverlo con la fórmula general por favor , con procedimiento para que pueda entender dónde me equivoqué .

De antemano muchas gracias .

Answer 1

$(2x+c)^2=2x-c \\[2pt] \text{En el lado izquierdo se usa } \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\[2pt] (2x)^2+2(2x)(c)+c^2=2x-c \\[2pt] 4x^2+4xc+c^2=2x-c \\[2pt] \text{Ahora se pasa todo a un lado y se suman los t\'erminos semejantes}\\ \text{considerando que la variable es } x \\[2pt] 4x^2+(4xc-2x)+(c^2+c)=0 \\[2pt] 4x^2+(4c-2)x+c^2+c=0$

$\textbf{F\'ormula general : }\\[2pt] ax^2+bx+c \ \Rightarrow \ x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\text{Para usar la f\'ormula reemplazamos :} \\ a=4 \ , \ b=4c-2 \ , \ c=c^2+c \\[4pt] x=\dfrac{-(4c-2)\pm \sqrt{(4c-2)^2-4(4)(c^2+c)}}{2(4)} \\[2pt] x=\dfrac{-4c+2\pm \sqrt{16c^2-16c+4-16c^2-16c}}{8} \\[2pt] x=\dfrac{-4c+2\pm \sqrt{4-32c}}{8}=\dfrac{-4c+2\pm \sqrt{4(1-8c)}}{8} \\[2pt] x=\dfrac{-4c+2\pm 2\sqrt{1-8c}}{8}=\dfrac{2(-2c+1\pm \sqrt{1-8c}\,)}{8} \\[2pt] x=\dfrac{-2c+1\pm \sqrt{1-8c}}{4}$

$\text{Separando se obtienen las 2 soluciones :} \\[4pt] x=\dfrac{1-2c+\sqrt{1-8c}}{4} \ \ \vee \ \ x=\dfrac{1-2c-\sqrt{1-8c}}{4}$

$\text{All\'i ya est\'a la respuesta , pero dada la forma del ejercicio se puede}\\ \text{trabajar de una forma m\'as sencilla , veamos :} \\[2pt] (2x+c)^2=2x-c \\[2pt] (2x+c)^2=(2x+c)-2c \\[2pt] \text{se realiza un cambio de variable , }u=2x+c \text{ , reemplazando} \\[2pt] u^2=u-2c \ \Rightarrow \ u^2-u+2c=0 \\[2pt] \text{Se resuelve por f\'ormula para la variable }u \\[4pt] u=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4(1)(2c)}}{2(1)}=\dfrac{1\pm \sqrt{1-8c}}{2}$

$\text{Ahora se repone la variable original , sabiendo que } \ 2x+c=u \\[2pt] 2x+c=\dfrac{1\pm \sqrt{1-8c}}{2} \\[2pt] 2x=\dfrac{1\pm \sqrt{1-8c}}{2}-c=\dfrac{1-2c\pm \sqrt{1-8c}}{2} \\[2pt] \\[2pt] x=\dfrac{1-2c\pm \sqrt{1-8c}}{4} \\[4pt] \text{Se separan las soluciones :} \\[4pt] x=\dfrac{1-2c+\sqrt{1-8c}}{4} \ \ \vee \ \ x=\dfrac{1-2c-\sqrt{1-8c}}{4}$