Question

Si una raiz de ax^2+bx+c=0 es el doble de la otra demostrar que 2b^2=9ac

Answer 1

$ax^2+bx+c=0 \\[2pt] \text{Por Cardano - Vieta :} \\[2pt] x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \ \ , \ \ x_1\,x_2=\dfrac{c}{a} \\[4pt] \text{Sean las ra\'ices } \ x_1 =r\ , \ x_2=2r \\[2pt] \text{reemplazando:}\\[2pt] \bullet \ r+2r=-\dfrac{b}{a} \ \Rightarrow \ r=-\dfrac{b}{3a} \ \Rightarrow \ r^2=\dfrac{b^2}{9a^2} \ .... \ (i) \\[4pt] \bullet (r)(2r)=\dfrac{c}{a} \ \Rightarrow \ r^2=\dfrac{c}{2a} \ .... \ (ii)$

$\text{se iguala }(i)=(ii)\\[2pt] \dfrac{b^2}{9a^2}=\dfrac{c}{2a} \ \Rightarrow \ \dfrac{b^2}{9a}=\dfrac{c}{2} \\[10pt] \Rightarrow \ 2b^2=9ac$