Matemática Económica II
I) Sean u = ( 3, 4 , 0, 2, 3 ), v = ( 2, 4 , 3, 5 , 2) y w = (1, 2, 2, 4, 3 ). Encuentre:
1) 3u 2 v + w
2) 4v (u + 2 w)
3) ll3u 2 v + w ll
4) x si 2x 3 u = 2w + v
II) Dado los conjuntos con operaciones indicadas, determine cuál es un espacio vectorial, si no lo es indique cuales axiomas no se cumplen.
1) El conjunto de todos los pares de números reales (x, y) con las operaciones
(x, y) + (a, b) = ( x + a + 1, y + b + 1), k(x, y) = (ka, kb)
2) El conjunto de todas las matrices de 2 x 2 de la forma con las operaciones matriciales ordinarias o estándar
III) Determine si el conjunto de todos los vectores de la forma (a, b, c), donde b = a + c es un subespacio de R3.
IV) Cuáles de los siguientes vectores son combinación lineal de u = (1, 1 , 3) y v = (2, 4, 0)
1) (4, 2, 6) 2) (1, 5, 6)
V) Determinar si S = { (2, 1, 1), (0, 1, 1), ( 2, 2, 2)} genera al espacio vectorial R3
VI) Determinar si S = { (1, 2, 1), (2, 9, 0), ( 3, 3, 4)} genera al espacio vectorial R3
VII) Exprese al polinomio p = 5 x + 3 x 2 como combinación lineal de los polinomios a = 2 + x + 4 x 2, b = 1 x + 3 x 2 y c = 3 + 2 x + 5 x2
VIII) Determine la dimensión y una base del espacio solución del sistema
x 3 y + z = 0
2 x 6 y + 2z = 0
3 x 9 y + 3z = 0
IX) Sean u = ( u1, u2, u3 ), v = (v1, v2, v3) vectores en R 3. Diga si es producto interior en R3, si no lo es indique cual axioma no se cumple:
1)
2)
X) Sean u = ( 3, 3, 1 ), v = ( 4 , 3, 2) Encuentre el producto interior usando el del ejemplo anterior inciso 2, así como el ángulo entre ellos.
XI) Calcule el (u,v)= u1v1 + u2v3+u3v2+u4v4 , dado que si calcule el ángulo entre los vectores.
XII) Encontrar una base para el espacio nulo de
2 2 -1 0 1
-1 1 2 -3 1
1 1 -2 0 -1
0 0 1 1 1
Respuestas
IV)
Para que (4, 2, 6) sea combinación lineal de u = (1, 1 , 3) y v = (2, 4, 0), tenemos que encontrar a i b tal que se cumpla:
(4, 2, 6)= a (1, 1 , 3) + b (2, 4, 0) por lo tanto:
4 = a + 2b
2 = -a + 4b
6= 3a + 0b ----------- De estas equaciones deducimos que a = 2 i b = 1
Por lo tanto (4, 2, 6) es combinación lineal de u = (1, 1 , 3) y v = (2, 4, 0)
(1, 5, 6)= a (1, 1 , 3) + b (2, 4, 0) por lo tanto:
1= a +2b
5= -a+ 4b
6= 3a +0b
Resolvemos el sisema de ecuaciones por el sistema de reducción:
1= a +2b
5= -a+ 4b
------------
6= 0 + 6b
1 = b
-1= a
Substituimos a= -1 en la tercera ecuación 6= 3 (-1)
6= -3 Incoherencia
Por lo tanto, el sistema no tiene solución y (1, 5, 6) no es combinación lineal de u = (1, 1 , 3) y v = (2, 4, 0)