Una esfera de acero tiene un diámetro de 10 cm a la temperatura ambiente (20°C). Cuando la temperatura se aumenta en 50°C, ¿cuanto varia su diámetro? ¿cuanto varia su volumen? ¿Cuanto disminuye su densidad?
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18
Planteamos los datos:
![d_{0}=10 \ [cm] \\ T_{0}=20 \ [\°C] \\ T=50 \ [\°C] d_{0}=10 \ [cm] \\ T_{0}=20 \ [\°C] \\ T=50 \ [\°C]](https://tex.z-dn.net/?f=+d_%7B0%7D%3D10+%5C+%5Bcm%5D+%5C%5C++T_%7B0%7D%3D20+%5C+%5B%5C%C2%B0C%5D+%5C%5C+T%3D50+%5C+%5B%5C%C2%B0C%5D+++)
A la temperatura final se le ha llamado simplemente ''T''.Otro dato adicional es que se trata de acero, cuyo coeficiente de dilatación térmica es:
![\alpha _{acero}=12 \cdot 10^{-6} \ [\°C^{-1}] \alpha _{acero}=12 \cdot 10^{-6} \ [\°C^{-1}]](https://tex.z-dn.net/?f=++%5Calpha+_%7Bacero%7D%3D12+%5Ccdot+10%5E%7B-6%7D+%5C+%5B%5C%C2%B0C%5E%7B-1%7D%5D+++)
La ecuación que modela el fenómeno físico de la dilatación térmica es:
(1)
La expresión para calcular el volumen de una esfera también se requerirá:
![V= \dfrac{4}{3} \pi r^{3} V= \dfrac{4}{3} \pi r^{3}](https://tex.z-dn.net/?f=V%3D+%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7D+%5Cpi+r%5E%7B3%7D)
Podemos empezar a trabajar la ecuación (1), por ejemplo el miembro del lado izquierda es:
![\dfrac{ \Delta V}{ V_{0} } = \dfrac{V- V_{0} }{ V_{0} }= \dfrac{V}{V_{0}}-1= \dfrac{ \frac{4}{3} \pi r^{3}}{ \frac{4}{3} \pi r_{0} ^{3}}-1= \dfrac{ r^{3}}{r_{0} ^{3} }-1 \dfrac{ \Delta V}{ V_{0} } = \dfrac{V- V_{0} }{ V_{0} }= \dfrac{V}{V_{0}}-1= \dfrac{ \frac{4}{3} \pi r^{3}}{ \frac{4}{3} \pi r_{0} ^{3}}-1= \dfrac{ r^{3}}{r_{0} ^{3} }-1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B+%5CDelta+V%7D%7B+V_%7B0%7D+%7D+%3D+%5Cdfrac%7BV-+V_%7B0%7D+%7D%7B+V_%7B0%7D+%7D%3D+%5Cdfrac%7BV%7D%7BV_%7B0%7D%7D-1%3D+%5Cdfrac%7B+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+%5Cpi+r%5E%7B3%7D%7D%7B+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+%5Cpi+r_%7B0%7D+%5E%7B3%7D%7D-1%3D+%5Cdfrac%7B+r%5E%7B3%7D%7D%7Br_%7B0%7D+%5E%7B3%7D+%7D-1)
El dato del problema es el diámetro inicial, calculamos el radio entonces:
![r_{0}= \dfrac{ d_{0}}{2}= \dfrac{10 \ [cm]}{2}=5 \ [cm] r_{0}= \dfrac{ d_{0}}{2}= \dfrac{10 \ [cm]}{2}=5 \ [cm]](https://tex.z-dn.net/?f=r_%7B0%7D%3D+%5Cdfrac%7B+d_%7B0%7D%7D%7B2%7D%3D+%5Cdfrac%7B10+%5C+%5Bcm%5D%7D%7B2%7D%3D5+%5C+%5Bcm%5D)
El miembro izquierdo de la ecuación (1) queda:
![\dfrac{ \Delta V}{ V_{0}}= \dfrac{ r^{3} }{ 5^{3} }-1= \dfrac{r^{3}-125 }{125} \dfrac{ \Delta V}{ V_{0}}= \dfrac{ r^{3} }{ 5^{3} }-1= \dfrac{r^{3}-125 }{125}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B+%5CDelta+V%7D%7B+V_%7B0%7D%7D%3D+%5Cdfrac%7B+r%5E%7B3%7D+%7D%7B+5%5E%7B3%7D+%7D-1%3D+%5Cdfrac%7Br%5E%7B3%7D-125+%7D%7B125%7D)
También podemos calcular el cambio de temperatura:
![\Delta T=T- T_{0}=50-20=30\ [\°C] \Delta T=T- T_{0}=50-20=30\ [\°C]](https://tex.z-dn.net/?f=+%5CDelta+T%3DT-+T_%7B0%7D%3D50-20%3D30%5C+%5B%5C%C2%B0C%5D+)
Reemplazando toda esta información en la ecuación (1) llegamos a:
![\dfrac{ r^{3}-125 }{125}=3(12)(10^{-6})(30) \dfrac{ r^{3}-125 }{125}=3(12)(10^{-6})(30)](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cdfrac%7B+r%5E%7B3%7D-125+%7D%7B125%7D%3D3%2812%29%2810%5E%7B-6%7D%29%2830%29++)
Despejando el radio final:
![r \approx5.002 \ [cm] r \approx5.002 \ [cm]](https://tex.z-dn.net/?f=r+%5Capprox5.002+%5C+%5Bcm%5D)
¿Cuánto varía su diámetro?
![d=2r=2(5.002) \ [cm]=10.004 \ [cm] \\ \\ \Delta d=d- d_{0}=(10.004-10) \ [cm] \approx \boxed{ 3.6 \cdot 10^{-3} \ [cm]} d=2r=2(5.002) \ [cm]=10.004 \ [cm] \\ \\ \Delta d=d- d_{0}=(10.004-10) \ [cm] \approx \boxed{ 3.6 \cdot 10^{-3} \ [cm]}](https://tex.z-dn.net/?f=d%3D2r%3D2%285.002%29+%5C+%5Bcm%5D%3D10.004+%5C+%5Bcm%5D+%5C%5C+%5C%5C+%5CDelta+d%3Dd-+d_%7B0%7D%3D%2810.004-10%29+%5C+%5Bcm%5D+%5Capprox+%5Cboxed%7B+3.6+%5Ccdot+10%5E%7B-3%7D+%5C+%5Bcm%5D%7D)
¿Cuánto varía su volumen?
![\Delta V= \dfrac{4}{3} \pi r^{3}-\dfrac{4}{3} \pi r_{0} ^{3}= \dfrac{4}{3} \pi(r^{3}- r_{0}^{2})= \dfrac{4}{3} \pi(5.002^{3}- 5^{3})\ \approx \boxed{0.63 \ [cm^{3}]} \Delta V= \dfrac{4}{3} \pi r^{3}-\dfrac{4}{3} \pi r_{0} ^{3}= \dfrac{4}{3} \pi(r^{3}- r_{0}^{2})= \dfrac{4}{3} \pi(5.002^{3}- 5^{3})\ \approx \boxed{0.63 \ [cm^{3}]}](https://tex.z-dn.net/?f=%5CDelta+V%3D+%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7D+%5Cpi+r%5E%7B3%7D-%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7D+%5Cpi+r_%7B0%7D+%5E%7B3%7D%3D+%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7D+%5Cpi%28r%5E%7B3%7D-+r_%7B0%7D%5E%7B2%7D%29%3D+%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7D+%5Cpi%285.002%5E%7B3%7D-+5%5E%7B3%7D%29%5C+%5Capprox+%5Cboxed%7B0.63+%5C+%5Bcm%5E%7B3%7D%5D%7D)
¿Cuánto disminuye su densidad?
Para la densidad podemos aproximar que a unos 20 °C la temperatura promedio del acero es 7850 Kg/m³. Usamos ese valor en kg/cm³:
![\rho_{0} = 7850\left[\ \dfrac{kg}{ m^{3} }\right] \cdot \dfrac{1 \ [m^{3}] }{ 10^{6} \ [ cm^{3}]}=7.85 \cdot 10^{-3}\left[\ \dfrac{kg}{cm^{3} }\right] \rho_{0} = 7850\left[\ \dfrac{kg}{ m^{3} }\right] \cdot \dfrac{1 \ [m^{3}] }{ 10^{6} \ [ cm^{3}]}=7.85 \cdot 10^{-3}\left[\ \dfrac{kg}{cm^{3} }\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crho_%7B0%7D+%3D+7850%5Cleft%5B%5C+%5Cdfrac%7Bkg%7D%7B+m%5E%7B3%7D+%7D%5Cright%5D+%5Ccdot+%5Cdfrac%7B1+%5C+%5Bm%5E%7B3%7D%5D+%7D%7B+10%5E%7B6%7D+%5C+%5B+cm%5E%7B3%7D%5D%7D%3D7.85+%5Ccdot+10%5E%7B-3%7D%5Cleft%5B%5C+%5Cdfrac%7Bkg%7D%7Bcm%5E%7B3%7D+%7D%5Cright%5D)
Pero la densidad es la masa por unidad de volumen, despejando la masa:
![\rho_{0}= \dfrac{m}{ V_{0} }\Longrightarrow m= \rho_{0} V_{0} =(7.85 \cdot 10^{-3})(\frac{4}{3} \pi \cdot 5^{3})=4.11 \ [Kg] \rho_{0}= \dfrac{m}{ V_{0} }\Longrightarrow m= \rho_{0} V_{0} =(7.85 \cdot 10^{-3})(\frac{4}{3} \pi \cdot 5^{3})=4.11 \ [Kg]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crho_%7B0%7D%3D+%5Cdfrac%7Bm%7D%7B+V_%7B0%7D+%7D%5CLongrightarrow+m%3D+%5Crho_%7B0%7D+V_%7B0%7D+%3D%287.85+%5Ccdot+10%5E%7B-3%7D%29%28%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+%5Cpi+%5Ccdot+5%5E%7B3%7D%29%3D4.11+%5C+%5BKg%5D+)
Esta masa se supone sigue siendo la misma al elevar la temperatura. Por lo tanto podemos calcular la nueva densidad a partir de:
![\rho= \dfrac{m}{V}= \dfrac{4.11 \ [Kg]}{ \frac{4}{3} \pi (5.002)^{3} \ [cm^{3}]}=7.84 \cdot 10^{-3}\left[\ \dfrac{Kg}{ cm^{3} }\right] \rho= \dfrac{m}{V}= \dfrac{4.11 \ [Kg]}{ \frac{4}{3} \pi (5.002)^{3} \ [cm^{3}]}=7.84 \cdot 10^{-3}\left[\ \dfrac{Kg}{ cm^{3} }\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crho%3D+%5Cdfrac%7Bm%7D%7BV%7D%3D+%5Cdfrac%7B4.11+%5C+%5BKg%5D%7D%7B+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+%5Cpi+%285.002%29%5E%7B3%7D+%5C+%5Bcm%5E%7B3%7D%5D%7D%3D7.84+%5Ccdot+10%5E%7B-3%7D%5Cleft%5B%5C+%5Cdfrac%7BKg%7D%7B+cm%5E%7B3%7D+%7D%5Cright%5D)
Finalmente el cambio en la densidad es:
![\Delta\rho= \rho_{0}- \rho=(7.85-7.84) \cdot 10^{-3}\left[\ \dfrac{kg}{cm^{3} }\right] \approx \boxed{10^{-5}\left[\ \dfrac{kg}{cm^{3} }\right]} \Delta\rho= \rho_{0}- \rho=(7.85-7.84) \cdot 10^{-3}\left[\ \dfrac{kg}{cm^{3} }\right] \approx \boxed{10^{-5}\left[\ \dfrac{kg}{cm^{3} }\right]}](https://tex.z-dn.net/?f=%5CDelta%5Crho%3D+%5Crho_%7B0%7D-+%5Crho%3D%287.85-7.84%29+%5Ccdot+10%5E%7B-3%7D%5Cleft%5B%5C+%5Cdfrac%7Bkg%7D%7Bcm%5E%7B3%7D+%7D%5Cright%5D+%5Capprox+%5Cboxed%7B10%5E%7B-5%7D%5Cleft%5B%5C+%5Cdfrac%7Bkg%7D%7Bcm%5E%7B3%7D+%7D%5Cright%5D%7D)
Puedes cambiarlo a unidades internacionales que te dará 10 Kg/m³, lo que significa que la densidad bajó de 7850 Kg/m³ a unos 7840 Kg/m³ por efecto del calor. Un saludo.
A la temperatura final se le ha llamado simplemente ''T''.Otro dato adicional es que se trata de acero, cuyo coeficiente de dilatación térmica es:
La ecuación que modela el fenómeno físico de la dilatación térmica es:
La expresión para calcular el volumen de una esfera también se requerirá:
Podemos empezar a trabajar la ecuación (1), por ejemplo el miembro del lado izquierda es:
El dato del problema es el diámetro inicial, calculamos el radio entonces:
El miembro izquierdo de la ecuación (1) queda:
También podemos calcular el cambio de temperatura:
Reemplazando toda esta información en la ecuación (1) llegamos a:
Despejando el radio final:
¿Cuánto varía su diámetro?
¿Cuánto varía su volumen?
¿Cuánto disminuye su densidad?
Para la densidad podemos aproximar que a unos 20 °C la temperatura promedio del acero es 7850 Kg/m³. Usamos ese valor en kg/cm³:
Pero la densidad es la masa por unidad de volumen, despejando la masa:
Esta masa se supone sigue siendo la misma al elevar la temperatura. Por lo tanto podemos calcular la nueva densidad a partir de:
Finalmente el cambio en la densidad es:
Puedes cambiarlo a unidades internacionales que te dará 10 Kg/m³, lo que significa que la densidad bajó de 7850 Kg/m³ a unos 7840 Kg/m³ por efecto del calor. Un saludo.
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