Question

Una esfera de acero tiene un diámetro de 10 cm a la temperatura ambiente (20°C). Cuando la temperatura se aumenta en 50°C, ¿cuanto varia su diámetro? ¿cuanto varia su volumen? ¿Cuanto disminuye su densidad?

Answer 1

Planteamos los datos:

$d_{0}=10 \ [cm] \\ T_{0}=20 \ [\°C] \\ T=50 \ [\°C]$

A la temperatura final se le ha llamado simplemente ''T''.Otro dato adicional es que se trata de acero, cuyo coeficiente de dilatación térmica es:

$\alpha _{acero}=12 \cdot 10^{-6} \ [\°C^{-1}]$

La ecuación que modela el fenómeno físico de la dilatación térmica es:

$\dfrac{ \Delta V}{ V_{0} }=3 \alpha \Delta T$    (1)

La expresión para calcular el volumen de una esfera también se requerirá:

$V= \dfrac{4}{3} \pi r^{3}$

Podemos empezar a trabajar la ecuación (1), por ejemplo el miembro del lado izquierda es:

$\dfrac{ \Delta V}{ V_{0} } = \dfrac{V- V_{0} }{ V_{0} }= \dfrac{V}{V_{0}}-1= \dfrac{ \frac{4}{3} \pi r^{3}}{ \frac{4}{3} \pi r_{0} ^{3}}-1= \dfrac{ r^{3}}{r_{0} ^{3} }-1$

El dato del problema es el diámetro inicial, calculamos el radio entonces:

$r_{0}= \dfrac{ d_{0}}{2}= \dfrac{10 \ [cm]}{2}=5 \ [cm]$

El miembro izquierdo de la ecuación (1) queda:

$\dfrac{ \Delta V}{ V_{0}}= \dfrac{ r^{3} }{ 5^{3} }-1= \dfrac{r^{3}-125 }{125}$

También podemos calcular el cambio de temperatura:

$\Delta T=T- T_{0}=50-20=30\ [\°C]$

Reemplazando toda esta información en la ecuación (1) llegamos a:

$\dfrac{ r^{3}-125 }{125}=3(12)(10^{-6})(30)$

Despejando el radio final:

$r \approx5.002 \ [cm]$

¿Cuánto varía su diámetro?

$d=2r=2(5.002) \ [cm]=10.004 \ [cm] \\ \\ \Delta d=d- d_{0}=(10.004-10) \ [cm] \approx \boxed{ 3.6 \cdot 10^{-3} \ [cm]}$

¿Cuánto varía su volumen?

$\Delta V= \dfrac{4}{3} \pi r^{3}-\dfrac{4}{3} \pi r_{0} ^{3}= \dfrac{4}{3} \pi(r^{3}- r_{0}^{2})= \dfrac{4}{3} \pi(5.002^{3}- 5^{3})\ \approx \boxed{0.63 \ [cm^{3}]}$

¿Cuánto disminuye su densidad?

Para la densidad podemos aproximar que a unos 20 °C la temperatura promedio del acero es 7850 Kg/m³. Usamos ese valor en kg/cm³:

$\rho_{0} = 7850\left[\ \dfrac{kg}{ m^{3} }\right] \cdot \dfrac{1 \ [m^{3}] }{ 10^{6} \ [ cm^{3}]}=7.85 \cdot 10^{-3}\left[\ \dfrac{kg}{cm^{3} }\right]$

Pero la densidad es la masa por unidad de volumen, despejando la masa:

$\rho_{0}= \dfrac{m}{ V_{0} }\Longrightarrow m= \rho_{0} V_{0} =(7.85 \cdot 10^{-3})(\frac{4}{3} \pi \cdot 5^{3})=4.11 \ [Kg]$

Esta masa se supone sigue siendo la misma al elevar la temperatura. Por lo tanto podemos calcular la nueva densidad a partir de:

$\rho= \dfrac{m}{V}= \dfrac{4.11 \ [Kg]}{ \frac{4}{3} \pi (5.002)^{3} \ [cm^{3}]}=7.84 \cdot 10^{-3}\left[\ \dfrac{Kg}{ cm^{3} }\right]$

Finalmente el cambio en la densidad es:

$\Delta\rho= \rho_{0}- \rho=(7.85-7.84) \cdot 10^{-3}\left[\ \dfrac{kg}{cm^{3} }\right] \approx \boxed{10^{-5}\left[\ \dfrac{kg}{cm^{3} }\right]}$

Puedes cambiarlo a unidades internacionales que te dará 10 Kg/m³, lo que significa que la densidad bajó de 7850 Kg/m³ a unos 7840 Kg/m³ por efecto del calor. Un saludo.