Question

Calcular el área de las siguientes figuras sombreadas

Answer 1

el primero te lo encontrare con letras porque necesito mas datos que los radios

bueno vemos que en cada esquina del cuadrado hay 1/4 de una circunferencia, entonces como hay 4 esquinas habrá
1 circunferencia completa

será un cuadrado de lado x

entonces su área del cuadrado completo será
${x}^{2}$
encontraremos el área de la parte sombreada de la siguiente manera :
${x}^{2} - area \: de \: la \: circunferencia$
nos dan el radio de la circunferencia que es 1cm

entonces será :
$x {}^{2} - \pi \times {r}^{2}$
reemplazamos datos :
${x}^{2} - \pi \times {1}^{2}$
el área sombreada será igual a
${x}^{2} - 3.14 {cm}^{2}$
_____________________

ahora la segunda figura
pondré de esta forma
cuadrado entero = C1
cuadrado pequeño =C2
triángulo pequeño =T

ahora pues:
área C1= 20cm x 20cm = 400cm^2
área C2 = 10cm x 10cm = 100cm^2
área T = 1/2 C2 = 50cm^2
vemos que hay 3 de esos triángulos pequeños por lo que el área de la parte pintada es igual a:
$3t = 3 \times 50 {cm}^{2}$
igual a
$150 {cm}^{2}$
____________________
figura 3

rectángulo =R
triángulo de la izquierda =T1
triángulo de la derecha = T2
area sombreada =x
área=A

empecemos :
el plan es :
AR = AT1 +AT2 +x
despejamos x
x= AR - AT1 - AT2
esta será nuestra ecuación de referencia.

AR = 5cm x 4cm = 20 cm^2
AT1 =
$\frac{3cm \times 4cm}{2}$
igual
$6 {cm}^{2}$
AT2 =
$\frac{3cm \times 5cm}{2}$

igual a
$7.5 {cm}^{2}$
teniendo las áreas utilizaremos nuestra ecuación referencia :

x= AR - AT1 - AT2
REEMPLAZAMOS DATOS
$x = 20 {cm}^{2} - 6 {cm}^{2} - 7.5 {cm}^{2}$
nos queda :
$x = 6.5 {cm}^{2}$
esa es el área de la parte sombreada
______________
figura 4

bueno no se si puedas entender el plan, pero lo describiré :
pienso trabajar en un cuarto del cuadrado más específicamente en el cuarto donde esta ese tipo de hoja a partir de los cálculos en esa hoja lo demás se solucionará

lo dividire en 4 cuadrados más pequeños

cuadrado grande=C1
cuadrado superior izquierdo =C2
cuadrado superior derecho =C3
cuadrado inferior izquierdo =C4
cuadrado inferior derecho =C5
área de la hoja = H
área sombreada = x+H

.........
ya marcada la cancha empecemos, más te vale que haya buenos puntos jajaja.

trabajaremos en C3 (donde esta la hoja)
área C3 = 25 cm^2
vemos 1/4 de circunferencia inscrita de radio 5
$\frac{acir}{4} = \frac{\pi \times {r}^{2} }{4} = \frac{\pi \times 25}{4} = 19.63 {cm}^{2}$
restamos
$25 {cm}^{2} - 19.63 {cm}^{2} = 5.37 {cm}^{2}$

al área de C3 le restamos 2 veces 5.37 y tendremos el área de la hoja
entonces
$h = 25 {cm}^{2} - 2(5.37 {cm}^{2}) = 14.26 {cm}^{2}$

$h = 14.26 {cm}^{2}$
trabajando en C2 y C5
tenemos C2=C5
entonces solo trabajaremos en C2

AC2 =25cm^2

el área de la parte sombreada de C2 se encontrará restando el área del 1/4 de circunferencia inscrita al área de C2

previamente calculamos el área de 1/4 de circunferencia entonces reemplazamos :

A sombreada C2 = AC2 - 19.63 cm^2
reemplazamos
$asc2 = 25 {cm}^{2} - 19.63 {cm}^{2}$
$asc2 = 5.37 {cm}^{2}$
tenemos que
$asc2 = asc5$




el área sombreada de C4 es igual a
$asc4 = 25 {cm}^{2}$
finalmente

el área sombreada total se determina por
$ah + asc2 + asc4 +asc5$

reemplazamos :
$14.26 + 5.37 + 25 + 5.37$
igual a
$50 {cm}^{2}$
ese es el área de la parte sombreada.