Question

Si "m" y "n" son números enteros, ambos divisibles por dos ¿Cuál de los siguientes párrafos no es necesariamente cierto?
a. (m-n) es divisible por 2
b. (m+n) es divisible por 4
a. mn es divisible por 4
a. m2-n2 es divisible por 4
a. (m+n) es divisible por 2

Answer 1

$m,n \text{ divisibles por 2} \ \Rightarrow \ m=2k \ , \ n=2p \\ k,p \text{ son enteros.}\\[4pt]$

$\textbf{a) Verdadero. } \\ \text{Sustentaci\'on:} \\ m-n=2k-2p=2(k-p) \ \leftarrow \ \text{divisible por 2}$

$\textbf{b) Falso }\\ \text{Sustentaci\'on:}\\m+n=2k+2p=2(k+p) \ \text{es divisible por 4 si y solo si}\\ k+p \text{ es divisible por 2 , caso contrario no lo es. Por lo tanto }\\ \text{no siempre se cumple , ejemplo }m=2 \ , \ n=8 \ \Rightarrow \ m+n=10 \\ \text{no es divisible por 4.}$

$\textbf{c) Verdadero.}\\ \text{Sustentaci\'on :}\\ mn=(2k)(2p)=4(kp) \ \ \leftarrow \ \text{divisible por 4}$

$\textbf{d) Verdadero.}\\ \text{Sustentaci\'on :}\\ m^2-n^2=(2k)^2-(2p)^2=4(k^2-p^2) \ \ \leftarrow \ \text{divisible por 4}$

$\textbf{e) Verdadero.}\\ \text{Sustentaci\'on:}\\ m+n=2k+2p=2(k+p) \ \ \leftarrow \ \text{divisible por 2}$

$\textbf{NOTA:}\\[4pt] \bullet \ \text{Los n\'umeros divisibles por 4 o m\'ultiplos de 4 tienen la forma}\\ 4k \text{ siendo }k \text{ un n\'umero entero (cualquier entero)}\\[2pt] \bullet \ \text{Los n\'umeros divisibles por 2 o m\'ultiplos de 2 tienen la forma}\\ 2k \text{ siendo }k \text{ un n\'umero entero (cualquier entero)}\\[2pt] \bullet \ \text{La suma (o diferencia) y producto de 2 enteros da como resultado }\\ \text{otro entero ,es por eso que en el ejercicio }\\ k-p \ ,\ k+p \ , \ k^2-p^2 \ , \ kp \ \ \text{ son enteros.}$