Question

es URGENTEEE por favor Ayudaaaaaa!!! ... (con solución) gracias

Answer 1

Hay que solucionar dichas ecuaciones. 

ii) $x^{4}- x^{2} -x+ x^{3}=0$

Reordenamos y podemos sacar factor común:

$x^{4}+ x^{3}- x^{2} -x=0 \\ \\ x \underbrace{(x^{3}+ x^{2} -x-1)}_{\boxed{ \text{polinomio 3er grado}}}=0$

Al polinomio de tercer grado podemos factorizarlo aplicando división sintética. Se colocan los coeficientes en forma de horizontal (están en negrita):

1    1     -1    -1    |   
                         |-------------------------

Luego, se prueba con un número (por ejemplo en este caso escojo el 1 que está marcado con ⁽¹⁾).

1    1     -1    -1    |   1⁽¹⁾
                         |-----------------------

Una vez que lo colocamos en el lado superior izquierdo empezamos la operación. Para el primer número bajamos el primer coeficiente en ⁽²⁾:

1    1     -1    -1    |   1⁽¹⁾
                         |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾     

Luego multiplicamos ese valor por el 1 de prueba ⁽¹⁾ y ese resultado me da 1 ⁽³⁾. 

1    1     -1    -1    |   1⁽¹⁾
      1⁽³⁾              |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾     

Ahora sumo verticalmente el 1 colocado en ⁽³⁾ más el 1 de arriba, que me da dos. Esto lo coloco en ⁽⁴⁾. 

1    1     -1    -1    |   1⁽¹⁾
      1⁽³⁾               |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾  2⁽⁴⁾      

Nuevamente este 2 lo multiplico por el 1 de prueba ⁽¹⁾ y obtengo como resultado otro dos que lo coloco en ⁽⁵⁾: 

1    1     -1    -1    |   1⁽¹⁾
      1⁽³⁾   2⁽⁵⁾       |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾  2⁽⁴⁾      

Dicho dos lo sumo con el -1 que está arriba y obtengo otro 1 ⁽⁶⁾.

1    1     -1    -1    |   1⁽¹⁾
      1⁽³⁾   2⁽⁵⁾       |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾  2⁽⁴⁾   1⁽⁶⁾   

Este 1 lo multiplico de nuevo por el divisor ⁽¹⁾ y lo coloco en la cuarta columna en ⁽⁷⁾:

1    1     -1       -1  |   1⁽¹⁾
      1⁽³⁾   2⁽⁵⁾   1⁽⁷⁾|-------------------------
----------------------
1⁽²⁾  2⁽⁴⁾   1⁽⁶⁾  

Sumo verticalmente y el resultado me da cero. 

1    1     -1      -1   |   1⁽¹⁾
      1⁽³⁾   2⁽⁵⁾   1⁽⁷⁾ |-------------------------
----------------------
1⁽²⁾  2⁽⁴⁾   1⁽⁶⁾   0

Si no me hubiera dado cero, tendría que hacer la operación de nuevo probando con otro valor, por ejemplo probaba con el -1, así:

1    1     -1    -1    |   -1
                         |-------------------------

Pero, en este caso no es necesario. Ahora tomamos los valores en negrita como los coeficientes nuevos de un polinomio de grado dos:

1    1      -1     -1   |   1
      1      2     1    |-------------------------
----------------------
1     2     1    0

$x^{2} +2x+1$

Y el otro factor es tomando el +1 que fue el valor de prueba. Para acompañarlo de la ''x'' hay que cambiarle el signo. Entonces el otro término es:

$x-1$

Multiplico los dos términos y obtengo el polinomio inicial factorizado:

$(x^{2} +2x+1)(x-1)$

En pocas palabras:

$x^{3}+ x^{2} -x-1=( x^{2} +2x+1)(x-1)$

Reemplazamos donde nos habíamos quedado de la ecuaución igualada a cero:

$x( x^{3}+ x^{2} -x-1)=x( x^{2} +2x+1)(x-1)=0$

El término x² + 2x +1 puede ser expresado como (x+1)², luego:

$x( x^{2} +2x+1)(x-1)=x( x+1)^{2}(x-1)=0$

Para encontrar las soluciones igualamos cada término a cero:

$\boxed{x=0} \\ x+1=0\Longrightarrow \boxed{x=-1} \\ x-1=0\Longrightarrow \boxed{x=1}$

iii) $\dfrac{1}{x}- \dfrac{1-x}{x+1}= \dfrac{2}{x+ x^{2}}$

Puedo sacar factor común ''x'' en el denominador del término de la izquierda:

$\dfrac{1}{x}- \dfrac{1-x}{x+1}= \dfrac{2}{x(x+1)}$

Para eliminar los denominadores puedo multiplicar cada término por x(x+1):

$1(x+1)-(1-x)x=2 \\ \\ x+1-(x- x^{2} )=2 \\ \\ x+1-x+ x^{2} =2$

Se me simplifican ''x'' y ''-x'' y obtengo:

$x^{2} =1\Longrightarrow x= \pm \sqrt{1}= \pm1$

Las dos soluciones son 1 y -1. Pero si elijo el -1 y lo reemplazo en la ecuación original:

$\dfrac{1}{-1}- \dfrac{1-(-1)}{\underbrace{-1+1}}= \dfrac{2}{-1+ (-1)^{2}}$

Se observa que un denominador de la ecuación se vuelve cero. Como no existe la división para cero descartamos esa opción.

La solución única es:

$\boxed{x=1}$

Un saludo.