Question

¿Me podrían ayudar con estos ejercicios de Ecuaciones Exponenciales?

Gracias.

Answer 1

utilizamos la fórmula
a^m+n=(a^m)(a^n)
(3)(3^-x)-3^x=2
como tenemos un exponente negativo en este caso el -x lo convertimos en positivo conviertiendolo en una fracion
3(1/3^x)-3^x=2
observamos que tenemos en dos veces la expresion 3^x y oues para no conplicarnos la vida la cambiomos por z, entonces. z= 3^x
(3)(1/z)-z=2
resolvemos el ()
3/z-z=2
movemos la constante 2 a la izquierda del igual con signo contrario
3/z-z-2=0
resolvemos con el comun denominador
3-z^2-2z/z=0
cuando la expresion es igualada a 0 el numerador tambien
3-z^2-2z=0
usamos lanpropiedad conmutativa para organizar
-z^2-2z+3=0
usamos producto comun para quitar el -
-(z^2+2z-3)=0
y usamos la formula cuadratica para responder.
z=-2+- raiz 2^2-4(1)(-3)/(2)(1)
resolvemos
z=-2+- raiz 4+12/2
z=-2+- raiz 16/2
z=-2+- 4/2
z1=-2-4/2
z1=-6/2
z1=-3
z2=-2+4/2
z2=2/2
z2=1
sustituimos el valor normal de z. z= 3^x
3^x=1
3^x=-3
resolvemos para x, tenemos que igualar las dos bases y sabemos que todo numero elevado a la 0 da 0, entonces.
3^x=1
3^x=3^0
imagina que como la base es igual solo cogemos los exponentes
x=0
-3 no tiene solucion, oues no hay numeros comunes para resolver.
la respuesta es
x=0

4^3x=8x+3
esta es un poco mas complicada
convertimos el 4 y el 8en exponente
(2^2)^3x=(2^3)^x+3
transformamos la expresion
(2^3x)^2=(2^x)^3+3
segumos transformando
(2^x)^3)^2=(2^x)^3+3
como puedes observar tenemos (2^x)^3 en comun, esto lo cambiamos por z
z^2=t+3
z^2-z-3=0
(usamos formula cuadratica)
y nos queda así
z1=1+raiz 13/2
z2=1-raiz 13/2
cambiamos el z
(2^x)^3 =1+raiz 13/2
2^3x =1+raiz 13/2
8^x =1+raiz 13/2
sacamos logaritmo en ambos lados
log(base8)( 8^x)=log(base8)(1 +raiz 13/2)
simplificamos
x= log(base2^3)(1 +raiz 13/2)
y listo
suerte

Answer 2

1) Para el primero:

$3^{1-x}- 3^{x}=2 \\ \\ 3 \cdot 3^{-x}- 3^{x}=2$

Ahora multiplico ambos miembros por 3ˣ:

$3- 3^{2x}=2 \cdot 3^{x}$

Reacomodando eso:

$3^{2x}+2 \cdot 3^{x}-3=0$

Que puedo ser expresado así:

$(3^{x})^{2}+2 \cdot(3^{x})-3=0$

Para identificar eso podemos hacer un cambio de variable, por ejemplo llamar ''u'' al factor 3ˣ:

$u= 3^{x}$

Por lo que la expresión anterior se convierte en:

$u^{2}+2u-3=0 \\ \\ (u+3)(u-1)=0~\Longrightarrow \ \left\langle\begin{array}{c} (u+3)=0 \Longrightarrow \ u=-3 \\ \\ (x-1)=0\Longrightarrow \ \boxed{u=1}\end{array}\right$

Se escoge el valor positivo porque hay que recordar que ''u'' era el factor 3ˣ :

$3^{x}=1$

(Si escogiéramos el valor negativo no existiría dicho valor ''x'' que como exponente en base 3 me dé como resultado un número negativo). De la expresión de arriba se puede ver que x = 0, porque cualquier base elevada a la cero da como resultado la unidad.

$\boxed{ x=0}$

2) $4^{3x}= 8^{x}+3$

Expresamos todo en base 2:

$(2^{2})^{3x}= ( 2^{3} )^{x}+3 \\ \\ (2^{3x})^{2}- 1(2^{3x})-3=0$

Aplicamos un útil cambio de variable, por ejemplo:

$\texttt{Si} \ v= 2^{3x} \Longrightarrow \ u^{2}-u-3=0$

Por lo que recurrimos a la fórmula cuadrática:

$v=\dfrac{- \ b \pm \sqrt{b^{2} -4ac}}{2a}\\ \\ \\ v= \frac{-(-1) \pm \sqrt{ (-1)^{2}-4(1)(-3) } }{2(1)} \\ \\ \\ v= \frac{1 \pm \sqrt{13} }{2}$

Si tomamos v₁ cuando desarrollamos esto con el signo más de la fórmula se obtiene:

$x=\dfrac{ \ 1 + \sqrt{13}}{2}$

No podemos tomar el valor negativo de la raíz porque eso convierte al valor de ''v'' en negativo, y otra vez una base elevada a un exponente (ambos números Reales) jamás da como resultado un número negativo. Entonces:

$2^{3x}= \frac{1+ \sqrt{13} }{2}$

Aplicando logaritmo en base 2 en ambos miembros:

$log_{2}( 2^{3x})= log_{2} \left( \dfrac{1+ \sqrt{13} }{2}} \right) \\ \\ \\ 3x= log_{2} \left( \dfrac{1+ \sqrt{13} }{2}} \right) \Longrightarrow \ x= \frac{1}{3}\log_{2} \left( \dfrac{1+ \sqrt{13} }{2}} \right)$

Ese valor lo puedes expresar en base 10 (que es como trabaja la calculadora), así:

$\boxed{x= \frac{1}{3} \frac{{log \left( \dfrac{1+ \sqrt{13} }{2}} \right)} {\log(2)} }\approx 0.4011246181$

Un saludo.