Question

como se cuando un punto es cerrado o abierto en una funcion a trozos

Answer 1

En realidad no se trataría de un punto, sino de un intervalo.

Un intervalo es cerrado, cuando los dos extremos pertenecen a la función y la función acaba en ellos, es decir comprende a todos los puntos mayores o iguales que a y menores o iguales que b.
Se representa [a,b]={x∈R / a ≤ x ≤ b}

Un intervalo es abierto, cuando los dos extremos no pertenecen a la función se pueden aproximan mucho pero no llegar a ellos, es decir comprende a todos los puntos mayores que a y menores que b.
Se representa (a,b)={x∈R / a < x < b}


Intentaré explicartelo mejor

f(x)= x  si x≤3       
        x² si 3<x<7
        x³ si x ≥ 7

El primer caso sería intervalo abierto por la izquierda porque no tiene límite, llega hasta -infinito y por la derecha sería cerrado porque llega hasta 3 se representaría$({- \infty},3] ,$

El segundo caso sería intervalo abierto por los dos lados, porque x es mayor que 3, pero nunca llega a x=3, luego sólo se acercará infinitamente al número 3, por tanto no podemos cerrar el intervalo, porque cualquier número que se piense cercano a 3, siempre se podrá pensar otro más cerca de 3 y por el otro lado igualmente abierto porque nunca llegará a ser x=7  se representa (3,7)

En el tercer caso sería intervalo cerrado por la izquierda, porsabemos justo donde empieza, empieza en 7 y abierto por la derecha porque si es mayor que 7 puede ser mayor hasta el infinito. Se representa por $[7,{\infty} )$