Question

Una cámara de televisión sigue desde el suelo el despegue vertical de un cohete que se produce de acuerdo con la ecuación , con s en pies y t en segundos, la cámara está a 2000 pies del lugar de despegue hallar la razón de cambio del ángulo de elevación de la cámara 10 segundos después del despegue. resp 2/29 rad/seg 2 50t s

Answer 1

Respuesta: 2/29 rad/s

Análisis y desarrollo

El cohete se mueve según la ecuación: s = 50t²

La cámara filma el cohete con respeto a un ángulo de inclinación: α

El dibujo adjunto presenta la situación planteada.

Analizamos el cambio de la variable en el tiempo (derivando):

s' = 50 × 2t = 100t   [ds/dt]

Determinamos el ángulo de inclinación:

tanα = 50t²/2000

α = tan⁻¹(50t²/2000)

Analizamos el cambio del ángulo de inclinación con respecto al tiempo (dα/dt):

$\frac{d \alpha }{dt}= \frac{1}{ 1+\frac{ t^{4} }{ 40^{2} } } * \frac{2t}{40}$

$\frac{d \alpha }{dt}= \frac{1}{\frac{ 40^{2} +t^{4} }{ 40^{2} } } * \frac{2t}{40}$

$\frac{d \alpha }{dt}= \frac{ 40^{2} }{40^{2} +t^{4} } * \frac{2t}{40}$

$\frac{d \alpha }{dt}= \frac{ 80t}{1600 +t^{4} }$

Ahora evaluamos para t = 10 segundos:

$\frac{d \alpha }{dt}= \frac{ 80*10}{1600 +10^{4} } = \frac{800}{11600}$

Descomponemos la fracción obtenida:

$\frac{d \alpha }{dt}= \frac{400}{5800}= \frac{200}{2900}= \frac{100}{1450}= \frac{50}{725}= \frac{10}{145}= \frac{2}{29} \frac{rad}{s}$