Question

Los puntos a = (m+n ; 4) y b = (7 ; n) están ubicados sobre una recta vertical y la distancia entre ellos es 2 unidades. hallar m.n:

Answer 1

Si los puntos estan sobre una recta vertical los valores de x son los mismos para todos los puntos, luego
m + n = 7    (1)

Ahora la distancia entre ellos sólo será la distancia sobre la vertical, o sea 4 -n = 2 o n - 4 = 2. Luego n puede ser 2 o 6.
Si n=2 de (1) se tiene que m =5  y los puntos son (7,4) y (7,2)
Si n=6 de (1) se tiene que m =1 y los puntos son (7,4) y (7,6)
En ambos casos la distancia entre los puntos es 2

Answer 2

$\text{Todos los puntos sobre una recta vertical tienen la misma abscisa (o primera}\\ \text{componente ) y la distancia entre puntos de la recta vertical se obtiene} \\ \text{como la diferencia de ordenadas (o segundas componentes)}\\[4pt] a=(m+n \,,4) \ , \ b=(7,n)$

$\bullet \ \text{Las primeras componentes son iguales } \Rightarrow \ m+n=7 \ ... \ (i) \\[2pt] \bullet\ \text{Diferencia de ordenadas es 2 , ac\'a hay 2 posibilidades }. \\[2pt] \hspace*{0.5 cm}( \ n-4=2 \ \ \vee \ \ 4-n=2 \ )\ \Rightarrow \ n=6 \ \vee \ n=2 \\[4pt] \textbf{Caso 1 : }n=6 \ , \text{ reemplazando en }(i) \\[2pt] \hspace*{1.6cm} m+6=7 \ \Rightarrow \ m=1 \\[2pt] \hspace*{1.6cm} \Rightarrow \ m.n=(1)(6)=6$

$\textbf{Caso 2 : }n=2 \ , \text{ reemplazando en }(i) \\[2pt] \hspace*{1.6cm} m+2=7 \ \Rightarrow \ m=5 \\[2pt] \hspace*{1.6cm} \Rightarrow \ m.n=(5)(2)=10$

$\text{Como se ve hay 2 soluciones , puntos hallados son :} \\[2pt] a=(7,4) \ , \ b_1=(7,6) \ , \ b_2=(7,2) \\[2pt] \text{All\'i se pude ver : } \\[2pt] a =(7,4) \text{ est\'a 2 unidades abajo de } b_1=(7,6) \\[2pt] a =(7,4) \text{ est\'a 2 unidades arriba de } b_2=(7,2) \\[2pt]$