Respuestas
Dada una función real de variable real, podemos intentar aproximarla por otras funciones que sean más fáciles de manejar; esta aproximación puede ser por una función lineal, cuadrática, etc., que vienen dadas a partir de la fórmula de Taylor que exponemos a continuación, resaltando los dos casos más sencillos que hemos mencionado: aproximación lineal y cuadrática.
Aproximación lineal.
Tratamos en este apartado de justificar que para valores de “x” muy próximos a un número real “a” se tiene que:
Para ello veamos que es, desde el punto de vista geométrico, F(a) + F(a) (x-a) para una función dada F(x) derivable en el punto x = a.
Recordemos que la ecuación de una recta en R2 que pasa por un punto (x0, y0) y tiene de pendiente “m” tenía la forma:
y-y0 = m(x-x0).
Sea el punto (a , F(a)) y sea m = F’(a) la pendiente de dicha función en el punto x = a. La ecuación de la recta será y – F(a) = F’(a) (x - a) es decir:
y = F(a) + F ’(a) (x - a)
con lo cual tenemos que la expresión anterior representa la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función F(x) en el punto x = a:
Por ejemplo, si consideramos la función:
F(x) = x3 – x2 – 8x + 12