Cada semana, un campo cuadrado de cierto parque estatal es podado alrededor de los bordes. El resto del campo se mantiene sin podar. El campo mide b pies por cada lado, y la franja podada es de x pies de ancho.
(a) Explique por qué el área de la parte podada es b^2−(b−2x)^2
(b) Factorice la expresión de la parte (a) para demostrar que el área de la parte podada también es 4x(b−x)
Respuestas
El área total del campo es igual a:
At = b²
El área de la zona podada es igual a:
Apodada = Atotal - Anopodado
El área de la zona no podada es:
Anp = (b - 2x)² (ya que es un cuadrado y a la longitud b se le resta dos veces x)
Por lo que tendremos que: Ap = b² - (b - 2x)² [confirmando la parte A]
Factorizamos y desarrollamos producto notable:
Ap = b² - (b² - 4xb + 4x²)
Ap = b² - b² + 4xb - 4x² [se anulan los b²]
Ap = 4xb - 4x² [aplicaremos ahora factor común 4x]
Ap = 4x × (b - x) [confirmando así la parte b]
El área de la franja podada del campo cuadrado del parque estatal se puede calcular por las expresiones:
A = b² - (b − 2x)² A = 4x (b - x)
donde b es la medida del lado del campo y x la medida de la franja podada alrededor del campo.
¿Cómo se calcula el área de un cuadrado?
El área A de un cuadrado se calcula por el producto de las longitudes del largo por el ancho, es decir, la longitud del lado L al cuadrado
A = L²
En el caso planteado, se tiene un campo cuadrado en el cual se marca una franja perimetral de ancho fijo x.
En la figura anexa se ilustra la situación planteada con la siguiente nomenclatura:
- Lado del campo = b pies
- Ancho del borde = x pies
(a) ¿Por qué el área de la parte podada es b² − (b − 2x)² ?
El área de la parte podada es la diferencia entre el área del campo completo y el área del cuadrado interno sin podar:
Área del campo = b²
Área del cuadro sin podar = (b − 2x)² (el lado es b menos las franjas)
De esta forma
A = b² - (b − 2x)²
(b) Demostrar que el área de la parte podada también es 4x(b − x).
Usamos binomios conjugados
A = b² - (b − 2x)² = [b + (b − 2x)] [b - (b − 2x)]
A = [b + b − 2x] [b - b + 2x]
A = (2b − 2x) (2x)] = 4x (b - x)
Tarea relacionada:
Área rectangular más borde brainly.lat/tarea/30902166
#SPJ3
