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En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción m⁄n, donde m y n sean enteros y n sea diferente de cero.[1] Es cualquier número real que no es racional, y su expresión decimal no es ni exacta ni periódica.[1]
Un decimal infinito (es decir, con infinitas cifras) aperiódico, como √7 = 2,645751311064591 no puede representar un número racional. A tales números se les nombra "números reales o irracionales". Esta denominación significa la imposibilidad de representar dicho número como razón de dos números enteros.[2] El número pi ( {\displaystyle \pi } \pi), número e y el número áureo ( {\displaystyle \phi } \phi ) son otros ejemplos de números irracionales.[1]
La suma y la diferencia de un número racional y de un número irracional es un número irracional.
El producto de un racional diferente de cero por un irracional es un número irracional.
El cociente entre un racional no nulo y un irracional, es un número irracional.
El inverso de un número irracional es número irracional.
Sea un binomio, formado por un racional más un radical de segundo orden, o la suma de dos radicales de segundo orden, que es irracional. Entonces su conjugado es irracional.
Los valores de logaritmos vulgares o naturales y los valores de las razones trigonométricas, la inmensa mayoría no numerable, son irracionales.
El número de Gelfond (2√2) es un número irracional trascendente[5]
La raíz cuadrada de un número natural no cuadrado perfecto es un número irracional; también lo es la raíz enésima de un natural p que no es potencia enésima perfecta.
Entre dos racionales distintos, existe por lo menos, un número irracional[6]
Las razones trigonométricas de un ángulo son irracionales, excepcionalmente, una de ellas en el caso de que dos de los lados del triángulo rectángulo sean racionales.[6]
La medida de Lebesgue de cualquier intervalo cerrado del tipo {\displaystyle \scriptstyle [a,b]\cap \mathbb {I} \subset \mathbb {R} } {\displaystyle \scriptstyle [a,b]\cap \mathbb {I} \subset \mathbb {R} } es igual a la medida b-a. Eso implica que si existiera un procedimiento para seleccionar al azar un número de dicho intervalo, con probabilidad 1 el número obtenido sería irracional.
Cualquier número irracional que está en un intervalo abierto de números reales es punto de acumulación de los números reales de tal intervalo, como de los números irracionales del mismo. Por ejemplo: √5 es punto de acumulación de los números reales del intervalo K = <1;4>, como también de los números irracionales de K.[7]
El conjunto de los números irracionales es equivalente (tienen el mismo cardinal) al conjunto de los números reales.[8]
Un decimal infinito (es decir, con infinitas cifras) aperiódico, como √7 = 2,645751311064591 no puede representar un número racional. A tales números se les nombra "números reales o irracionales". Esta denominación significa la imposibilidad de representar dicho número como razón de dos números enteros.[2] El número pi ( {\displaystyle \pi } \pi), número e y el número áureo ( {\displaystyle \phi } \phi ) son otros ejemplos de números irracionales.[1]
La suma y la diferencia de un número racional y de un número irracional es un número irracional.
El producto de un racional diferente de cero por un irracional es un número irracional.
El cociente entre un racional no nulo y un irracional, es un número irracional.
El inverso de un número irracional es número irracional.
Sea un binomio, formado por un racional más un radical de segundo orden, o la suma de dos radicales de segundo orden, que es irracional. Entonces su conjugado es irracional.
Los valores de logaritmos vulgares o naturales y los valores de las razones trigonométricas, la inmensa mayoría no numerable, son irracionales.
El número de Gelfond (2√2) es un número irracional trascendente[5]
La raíz cuadrada de un número natural no cuadrado perfecto es un número irracional; también lo es la raíz enésima de un natural p que no es potencia enésima perfecta.
Entre dos racionales distintos, existe por lo menos, un número irracional[6]
Las razones trigonométricas de un ángulo son irracionales, excepcionalmente, una de ellas en el caso de que dos de los lados del triángulo rectángulo sean racionales.[6]
La medida de Lebesgue de cualquier intervalo cerrado del tipo {\displaystyle \scriptstyle [a,b]\cap \mathbb {I} \subset \mathbb {R} } {\displaystyle \scriptstyle [a,b]\cap \mathbb {I} \subset \mathbb {R} } es igual a la medida b-a. Eso implica que si existiera un procedimiento para seleccionar al azar un número de dicho intervalo, con probabilidad 1 el número obtenido sería irracional.
Cualquier número irracional que está en un intervalo abierto de números reales es punto de acumulación de los números reales de tal intervalo, como de los números irracionales del mismo. Por ejemplo: √5 es punto de acumulación de los números reales del intervalo K = <1;4>, como también de los números irracionales de K.[7]
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