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En el conjunto de los enteros, determinar si la siguiente función es o no inyectiva y por qué, g(x) = 1 – x3.
En el conjunto de los enteros, determinar si la siguiente función es o no inyectiva y por qué, f(x) = x2.
En el conjunto de los números naturales determinar si la siguiente función es o no sobreyectiva y por qué ƒ(x)=x2+2
En el conjunto de los números reales determine de que tipo se trata la siguiente función, ƒ(x)=x+4.

Answer 1

En general, si encuentras que para dos x distintos sean x y w, el dominio que sea, se tiene que f(x) = f(w) , entonces la función no es inyectiva.
En g(x) = 1 - x³ se tiene que f(x) si es inyectiva. Se muestra por contradicción:
g(x) = g(w) implica que 1 - x³ = 1-w³ implica que x³ = w³ implica que x=w, luego se contradice con que x sea distinto a w y por lo tanto es inyectiva.
f(x) = x² no es inyectiva en los enteros pues f(-2) = f(2) = 4 y -2 es distinto a 2.
Para que una función sea sobreyectiva todo elemento del conjunto recorrido debe ser imagen de algún x en el dominio. Si f(x) = x² + 2 en los números naturales, o sea de N en N, vemos que f(1) = 3 , f(2) = 6 pero 5 por ejemplo pertenece a los naturales pero no es imagen de ningún número natural. Luego no es sobreyectiva.
f(x) = x+4 en los reales, o sea de R en R, tiene las dos propiedades, es decir es inyectiva y sobreyectiva. Es una recta, luego siempre hay una sola imagen y además las imagenes f(x) recorren todo el conjunto R