Question

(a) Muestre que si A tiene una fila de ceros y B es cualquier matriz para
que AB está definido,entonces AB también tiene una fila de ceros.

(b) Encuentre un resultado similar que involucre una columna de ceros.

Answer 1

Sea $A \in \mathbb R^{m\times n}$ y $B\in \mathbb R^{n\times h}$. Por dato tenemos para cierta fila k-ésima lo siguiente

$A_{kj}=0~,~\forall j\in [1,n]$

Luego sabemos que $\displaystyle (AB)_{ij}=\sum_{p=1}^{n} A_{ip}B_{pj}$. Ahora feamos su k-ésima fila

$\displaystyle (AB)_{kj}=\sum_{p=1}^{n} A_{kp}B_{pj}\\ \\ \\ (AB)_{kj}=\sum_{p=1}^{n} 0\cdot B_{pj}\\ \\ \\ (AB)_{kj}=0$