Question

porfavor necesito ayuda con un ejercicio...
Calcular en resto en la siguiente división:
$\frac{(x - 5) {}^{10} + (x - 6) {}^{7} + 6 }{x {}^{2} - 11x + 30}$

Answer 1

$\displaystyle \text{hallar el resto en } \ \frac{(x-5)^{10}+(x-6)^7+6}{x^2-11x+30} \\[3pt] \text{Como el divisor es de segundo grado , el resto tiene la forma:}\\[2pt] r(x)=ax+b \ \ , \ \text{adem\'as }x^2-11x+30=(x-5)(x-6) \\[3pt] \text{En la divisi\'on se cumple :} \\[3pt] Dividendo =(divisor)(cociente)+residuo \\[3pt] \text{Reemplazando :}\\[3pt] (x-5)^{10}+(x-6)^7+6=[(x-5)(x-6)][q(x)]+ax+b \\[3pt] \text{En la expresi\'on anterior , se eval\'ua para }x=5 \ , \ x=6 \\[3pt]$

$x=5 \ : \ (5-5)^{10}+(5-6)^7+6=[(5-5)(5-6)][q(x)]+(a)(5)+b \\[3pt] \hspace*{1.5cm} \Rightarrow \ 5=5a+b \ ... \ (i) \\[3pt] x=6 \ : \ (6-5)^{10}+(6-6)^7+6=[(6-5)(6-6)][q(x)]+(a)(6)+b \\[3pt] \hspace*{1.5cm} \Rightarrow \ 7=6a+b \ ... \ (ii) \\[3pt] (ii)-(i) : \ \ 2=a \ , \text{ reemplazando en }(i) : \ 5=(5)(2)+b \ \Rightarrow \ b=-5\\[5pt] r(x)=ax+b=2x-5 \ \leftarrow \ Respuesta.$