Question

soluciones de las ecuaciones diferenciales , alguien sabe

Answer 1

formalmente, podemos poner g(x) dx = h(y) dy; si suponemos que G es una primitiva de g y H una de h, tendremos G′ (x) dx = H′ (y) dy e, integrando, G(x) = H(y) + C, que es la soluci´on general de la ecuaci´on. Expliquemos con un poco m´as de rigor por qu´e funciona el m´etodo: Sea y = ϕ(x) una soluci´on de la E. D., es decir, ϕ(x) debe cumplir g(x) = h(ϕ(x))ϕ ′ (x). Pero H es una primitiva de h, as´ı que, por la regla de la cadena, g(x) = h(ϕ(x))ϕ ′ (x) = (H ◦ ϕ) ′ (x). Integrando, G(x) = (H ◦ϕ)(x)+C (lo que antes hemos expresado como G(x) = H(y)+C), de donde ϕ(x) = H−1 (G(x) − C). En los pasos anteriores, est´a justificado emplear la regla de la cadena cuando ϕ y H son derivables, lo cual es cierto sin m´as que suponer que h sea continua. Y finalmente, para poder despejar ϕ mediante el uso de H−1 bastar´ıa con exigir adem´as que h no se anulara en el intervalo de definici´on, con lo cual, como H′ = h 6= 0, H es creciente o decreciente luego existe H−1 (en otras palabras, como la derivada de H no se anula, el teorema de la funci´on inversa nos asegura que existe H−1 ). Las ecuaciones en variables separadas son las m´as sencillas de integrar y, a la vez, las m´as importantes, ya que cualquier otro m´etodo de resoluci´on se basa esencialmente en aplicar diversos trucos para llegar a una ecuaci´on en variables separadas. En ellas hemos visto, con todo rigor, qu´e hip´otesis hay que imponer para que el m´etodo que conduce a la soluci´on est´e correctamente empleado, y c´omo se justifica el funcionamiento del proceso. A partir de ahora no incidiremos m´as en estos detalles que, aunque importantes, sobrecargar´ıan la explicaci´on. El lector puede detenerse mentalmente a pensar en ellos, justificando adecuadamente los pasos que se efect´uen.