Question

Un taller de computo de la colonia Obrera en la Ciudad de Mexico, midio los tiempos de reparacion de unas impresoras. Tiene una distribucion aproximadamente exponencial, con media de 22 minutos. Apartir de esta informacion:
*Encontrar la probabilidad de que el tiempo de reparacion sea menor a 10 minutos.
*Si el costo de reparacion es de 1,500 pesos por cada media hora o fraccion. ¿ Cual es la probabilidad de que una reparacion cueste 3,000 pesos?
*Para efectuar una programacion, ¿ cuanto tiempo se debe asignar a cada reparacion, para que la probabilidad de que cualquier tiempo asignado sea solo 0.1?

Answer 1

  Datos:

         Se define una variable aleatoria x que representa el tiempo de  


         reparación (en minutos) de las impresoras y sigue una distribución


        exponencial de parámetro      λ =( EΙxΙ)⁻¹= ¹/₂₂ . Por lo tanto, la


         función de densidad de esta variable es :


                                        ⁻ˣ/₂₂
                   fx(x) =  ¹/₂₂ *e            ,   x>0


        La probabilidad de que un tiempo de reparación sea menor que 

       diez minutos  es:

                                              -ˣ/₂₂               ⁻ˣ/₂₂                   ⁻⁵/₁₁
           P ( x< 10 ) = ∫¹⁰  ¹/₂₂ *e        θx  = - e         Ι¹⁰   = 1 - e
                                 ₀                                            ₀


        De acuerdo con el enunciado , para un tiempo de reparación dado,el


       costo de reparación se obtiene a partir del numero total de fracciones 


       de media hora y el conjunto de minutos restantes, inferiores a 30 .


       Todos, este ultimo inclusive ,se cobra a 1,500 pesos . Teniendo esto


      en cuenta , se observa que una reparación costara 3,000 pesos siempre


      que su duración sea superior a 30 minutos e inferior o igual a 60 min ( y 


     así cada fracción de la segunda media hora  se cobrara como una media
 

       hora entera ). Así:


                                                                ⁻ˣ/₂₂               ⁻³⁰/₁₁        ⁻¹⁵/₁₁
                     P( 30 < x ≤ 60) = ∫⁶⁰   ¹/₂₂ *e          θx = -e           + e
                                                  ₃₀


       Se representa por t  (t >0)  el tiempo asignado a una reparación( en

       minutos ). Debe verificarse :


               P(x>t) = 0.1    es decir:


               ∞         ⁻ˣ/₂₂             ⁻ˣ/₂₂   ∞      ⁻t/₂₂
             ∫   ¹/₂₂ * e      θx  = - e        Ι    = e       = 0.1.
              t                                         t


         Esto se cumple para  t = -22 * ln 0.1 = 50.657 ≈ 51 minutos.