Question

Un objeto sigue un mas. Cuando esta 3,0 cm de la posición de equilibrio su velocidad es de 6,0 m ×S-1, mientras que si la distancia es de 5,0cm,su velocidad es de 2,0 ×S-1.Determina la amplitud del movimiento y su frecuencia.

Answer 1

Respuesta: 0.052 m

Este es un ejercicio de Movimiento Armónico Simple (M.A.S). Emplearemos las siguientes fórmulas de distancia y velocidad:

→ Distancia: x = A·cos(wt), despejamos coseno

cos(wt) = x/A

→ Velocidad: v = - w·A sen(wt), despejamos seno

sen(wt) = -v/w·A

Aplicaremos la siguiente la propiedad trigonométrica:

sen²(wt) + cos²(wt) = 1, sustituimos las relaciones que despejamos

$( \frac{-v}{wA})^{2} +( \frac{x}{A})^{2}=1$, despejaremos w²

$\frac{v^{2}}{w^{2}A^{2}} +\frac{x^{2}}{A^{2}}=1$

$\frac{v^{2}}{w^{2}A^{2}} +\frac{x^{2}}{A^{2}}=1$

$\frac{1}{A^{2} } *(\frac{v^{2}}{w^{2}} +x^{2})=1$

$\frac{v^{2}}{w^{2}} +x^{2}=A^{2}$

$\frac{v^{2}}{w^{2}}=A^{2}- x^{2}$, invertimos

$\frac{w^{2}}{v^{2}} = \frac{1}{A^{2}- x^{2}}$

$w^{2} = \frac{ v^{2} }{A^{2}- x^{2}}$

Como w, para las velocidades y las distancias distintas, tendremos un mismo valor, por lo que se cumplirá que:

$\frac{ v_{1} ^{2} }{A^{2}- x_{1} ^{2}}= \frac{ v_{2} ^{2} }{A^{2}- x_{2} ^{2}}$

Ahora despejaremos A²:

$v_{1} ^{2}*(A^{2}- x_{2} ^{2}) =v_{2} ^{2}*(A^{2}- x_{1} ^{2})$

$v_{1} ^{2} A^{2} -v_{1} ^{2}x_{2} ^{2}=v_{2} ^{2} A^{2} -v_{2} ^{2}x_{1} ^{2}$

$v_{1} ^{2} A^{2}-v_{2} ^{2} A^{2}=v_{1} ^{2} x_{2} ^{2}-v_{2} ^{2} x_{1} ^{2}$

$A^{2}*(v_{1} ^{2} -v_{2} ^{2})=v_{1} ^{2} x_{2} ^{2}-v_{2} ^{2} x_{1} ^{2}$

$A^{2}= \frac{v_{1} ^{2} x_{2} ^{2}-v_{2} ^{2} x_{1} ^{2}}{v_{1} ^{2} -v_{2} ^{2}}$

Sustituimos los valores:

v₁ = 6 m/s         v₂ = 2 m/s         x₁ = 3 cm (0.03 m)         x₂ = 5 cm (0.05 m)

$A^{2}= \frac{(6)^{2} (0.05) ^{2}-(2)^{2} (0.03)^{2}}{(6)^{2} -(2)^{2}}$

A² = 2.7 × 10⁻³ m²

Despejamos A, con la raíz:

A = √2.7 × 10⁻³ m²

A = 0.052 m