Question

hallar la ecuacion de la perpendicular a la recta 2x+7y-3=0 en su punto de interseccion con 3x-2y+8=0

Answer 1

Hola :D ,

Para resolver este problema necesitas varios conceptos claves , primero que todo es ver que nos preguntan , nos preguntan acerca de la ecuación de una recta , se sabe que necesitamos mínimo 1 punto que pertenezca a ella y la pendiente.

Nos piden la ecuación perpendicular a la recta 2x + 7y - 3 = 0 , la condición para que la otra recta sea perpendicular , es que el producto de sus pendientes sea 1 :

$m_{1} * m_{2} = -1$

Para determinar la pendiente de la recta , despejamos la ecuación dejándola en su forma particular ( dejar la variable "y" a un lado) :

2x + 7y - 3 = 0
7y = -2x + 3

y = -2x          3
     ___   + ____
       7         7 

El término que acompaña a la "x" es la pendiente , recuerda la definición de una ecuación particular de la recta que solo necesita la pendiente e intercepto:
y = mx + b 

donde m es la pendiente y b el intercepto con el eje "y" .

Bueno , por lo tanto nuestra pendiente es :

$m_{1} = \frac{-2}{7}$

Para hallar la pendiente que buscamos , la cual es perpendicular a esta , lo hacemos con la condición planteada anteriormente ,

$m_{1} * m_{2} = -1$

Reemplazando :

$\frac{-2}{7} * m_{2} = -1 \\ \\m_{2}= \frac{7}{2}$

Ya tenemos la pendiente de nuestra nueva recta que es perpendicular . ahora nos hace falta un punto para reemplazarlo en la nueva recta 

$y - y_{0} = m_{2}(x - x_{0})$

Por ahora está así nuestra recta:
$y - y_{0} = \frac{7(x-x_{0})}{2}$  ❸

Para hallar el punto de intersección resolvemos un sistema de ecuaciones , la solución será ese punto :

❶2x + 7y - 3 = 0  => 2x+7y=3
❷3x - 2y + 8 = 0  => 3x-2y = -8

Hay varios métodos de resolución , lo realizaré con el método de reducción , amplfico ❶ * -3 y ❷ * 2 resultando:

-6x - 21y = -9
6x - 4y = -16

Sumando las ecuaciones :

-25y = -25
y = 1

Sustituyendo este valor en la ecuación ❶ :

2x + 7y = 3
2x + 7 = 3
2x = -4
x = -2

Tenemos el punto de intersección : x=-2 e y=1 => (-2,1)

Reemplazando en la ecuación ❸ :

$y-1 = \frac{7(x+2)}{2} /*2 \\ \\ 2(y-1) = 7(x+2) \\ 2y-2 = 7x + 14 \\ 7x - 2y + 16 = 0$

Esa es la ecuación perpendicular a la recta 2x + 7y - 3 = 0 en su punto de intersección con 3x-2y+8 = 0. 

Saludos.