Question

1^3 + 2^3 + ... + n^3= (1+2+3+...+n)^2 induccion matematica

Answer 1

Hipótesis inductiva : 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1+2+3+...+n)^2
Tésis inductiva: 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3= (1+2+3+...+n+ n+1)^2
Por conveniencia usaremos el siguiente resultado ampliamente conocido:
1+2+....+n = n*(n+1)/2 ---> 1+2+...+n+ n+1 = (n+1)*(n+2)/2  (*)
Luego la tésis la pondremos de esta forma:               (n+1)^2 * (n+2)^2
1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = ((n+1)*(n+2)/2)^2 = ------------------------
                                                                                                 4
Se cumple para n=1
Se supone verdadera la hipótesis y a partir de esta demostraremos la tesis inductiva:                                      n^2 * (n+1)^2
1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = -------------------- + (n+1)^3 =
                                                               4
n^2 * (n+1)^2                                  n^2 * (n+1)^2 + 4*(n+1) * (n+1)^2 
------------------ + (n+1) * (n+1)^2  = -------------------------------------------- =
         4                                                                   4
Factorizando el numerador por (n+1)^2 :
(n+1)^2 * (n^2 + 4*n + 4)     (n+1)^2 * (n+2)^2
---------------------------------  = ------------------------- = ((n+1)*(n+2)/2)^2 
          4                                              4
Pero por (*), ((n+1)*(n+2)/2)^2 = (1+2+....+n+n+1)^2
que era lo que se quería demostrar.