Question

Una ventana rectangular mide 54 pulgadas por 24 pulgadas. Hay una hoja limpiadora de 17 pulgadas unida por un brazo de 5 pulgadas al centro de la base de la ventana, como se ve en la figura. Si el brazo gira 120°, aproxime el porcentaje del área de la ventana que es limpiado por la hoja.

Answer 1

Respuesta: El porcentaje del área de la ventana se aproxima al 37.1%

Para poder interpretar toda la situación es necesario el dibujo, el cual adjunte como imagen.

El área total de la ventana del auto es: 

Área = largo × ancho
A = 54 × 24
A = 1296 pulg² , lo cual representa un 100% de la ventana

Ahora analizaremos el área del limpiador:

Este gira 120°,y la hoja tiene una longitud de 17 pulgadas.

El área de un sector circular es:

$A = \frac{ \pi * r^{2}* \alpha }{360}$

Para calcular el área del sector debemos tomar en cuenta la longitud del brazo, para así tener dos rectas que parten de un mismo punto delimitadas por un arco (como se ve en la segunda imagen), es decir tomaremos un radio de 17 + 5 = 22 pulg, entonces el área para todo ello es:

$A = \frac{ \pi * 22^{2}* 120 }{360} =506.84pulg^{2}$

Más ahora debemos restar el área del sector circular inferior, la que se forma por el brazo, más no es limpiada por la hoja, con un radio de 5 pulg:

$A = \frac{ \pi * 5^{2}* 120 }{360} =26.18pulg^{2}$

Por lo cual el área total del área limpiada por la hoja es:

(506.84 - 26.18)pulg² = 480.66 pulg²

Por regla de tres determinamos cuanto representa:

1296 pulg²    _____ 100%
480.66 pulg² _____     x

Entonces: $x = \frac{1*480.66}{1296}= 0.371$

En porcentaje esto es: 0.371 × 100 = 37.1% es limpiado por la hoja