Question

es un problema de trigonometria  Me pueden ayudar por favor

Answer 1

$\displaystyle \text{De la ley de cosenos se tiene :} \\[4pt] a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\[4pt] \Rightarrow \ a^2-b^2-c^2=-2bc\cos A \ ... \ (i) \\[4pt] \text{Por dato : } a^2-b^2-c^2=\frac{2bc}{3} \\[4pt] \text{Se reemplaza en la ecuaci\'{o}n } (i) \\[4pt] \frac{2bc}{3} =-2bc\cos A \ \Rightarrow \ \cos A=-\frac{1}{3} \\[4pt] \text{Por identidades de \'{a}ngulo mitad se tiene : }\\[4pt] \tan\left(\frac{A}{2} \right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} \\[4pt]$

$\displaystyle \text{En un tri\'{a}ngulo el \'{a}ngulo mitad es siempre agudo} \\[4pt] \text{entonces la tangente de la mitad ser\'{a} positiva , reemplazando :} \\[4pt] \tan\left(\frac{A}{2} \right)= \sqrt{\frac{1-(-\frac{1}{3})}{1+(-\frac{1}{3})}} =\sqrt{\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}}=\sqrt{\frac{4/3}{2/3}}=\sqrt{2} \\[4pt] \displaystyle \text{ Por lo tanto : } \tan\left(\frac{A}{2} \right)=\sqrt{2}$